 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
inimitably
Редовен
Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102
гласове: 25
|
 Пуснато на: Mon Apr 06, 2009 8:19 pm Заглавие: Описан четириъгълник |
|
|
Около окръжност с център [tex]O[/tex] е описан изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD[/tex].Докажете , че :
[tex]OA.OC+OB.OD=\sqrt{AB.BC.CD.AD}[/tex]
|
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
inimitably
Редовен
Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102
гласове: 25
|
| Пуснато на: Mon Apr 13, 2009 8:42 pm Заглавие: Re: Описан четириъгълник |
|
|
| inimitably написа: | Около окръжност с център [tex]O[/tex] е описан изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD[/tex].Докажете , че :
[tex]OA.OC+OB.OD=\sqrt{AB.BC.CD.AD}[/tex] |
Първо ще докажем следните тъждества :
[tex]AB=\frac{FY}{2}.\frac{OA.OB}{r^2}[/tex] , [tex]AD=\frac{XY}{2}.\frac{OA.OD}{ r^2}[/tex]
[tex]CD=\frac{FY}{2}.\frac{OC.OD}{r^2}[/tex] и [tex]BC=\frac{XZ}{2}.\frac{OB.OC}{r^2}[/tex]
Нека [tex]OA[/tex] и [tex]OB[/tex] пресичат съответно [tex]FX[/tex] и [tex]XY[/tex] в точките [tex]A_{1}[/tex] и [tex]B_{1}[/tex]. (виж чертеж 1)
Триъгълниците [tex]AOX[/tex] и [tex]A_{1}OX[/tex] са подобни следователно
[tex]OX^2=OA_{1}.OA=r^2[/tex] (1)
Аналогично се доказва и [tex]OX^2=OB_{1}.OB=r^2[/tex] (2)
От (1) и (2) следва , че триъгълниците [tex]A_{1}B_{1}O[/tex] с [tex]ABO[/tex] са подобни.
[tex]\Rightarrow \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{OA_{1}}{OB}[/tex] тогава [tex]A_{1}B_{1}=AB. \frac{OA_{1}}{OB}=AB. \frac{OA.OA_{1}}{OA.OB}=AB. \frac{r^2}{OA.OB}[/tex]. (3)
В триъгълника [tex]FXY[/tex] , [tex]A_{1}B_{1}=\frac{FY}{2}[/tex] и като заместим в (3) получаваме:
[tex]AB=\frac{FY}{2}.\frac{OA.OB}{r^2}[/tex] аналогично за [tex]BC[/tex] , [tex]CD[/tex] и [tex]AD[/tex].
Тогава [tex]AB.BC.CD.AD=(\frac{FY}{2}.\frac{OA.OB}{r^2}).(\frac{XZ}{2}.\frac{OB.OC}{r^2}).(\frac{FY}{2}.\frac{OC.OD}{r^2}).(\frac{XZ}{2}.\frac{OD.OA}{r^2})[/tex] [tex]=\frac{XZ.FY.OA.OB.OC.OD}{4r^2}= \sqrt{AB.BC.CD.AD}[/tex] (4)
Нека [tex]X_{1}[/tex] , [tex]Y_{1}[/tex] , [tex]Z_{1}[/tex] и [tex]F_{1}[/tex] са диаметрално противоположни точки съответно на [tex]X[/tex] , [tex]Y[/tex] , [tex]Z[/tex] и [tex]F[/tex]. (виж чертеж 2) Тогава [tex]X X_{1}[/tex] е диаметър на вписаната в четириъгълника окръжност и [tex] \angle X_{1}YX=90 ^\circ[/tex] от друга страна [tex]OB \bot XY[/tex]
[tex]\Rightarrow YX_{1}//OB[/tex] , тоест [tex] \Delta OMX[/tex]~[tex] \Delta XX_{1}Y[/tex]~[tex] \Delta OXB[/tex].
[tex]\Rightarrow \frac{X_{1}Y}{X_{1}X}=\frac{OX}{OB}[/tex] [tex]X_{1}Y=X_{1}X.\frac{OX}{OB}[/tex] , но [tex]X_{1}X=2OX[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]X_{1}Y= \frac{OX^2}{OB}= \frac{2r^2}{OB}[/tex]
По аналогичен начин се доказва за [tex]Z_{1}Y=\frac{r^2}{OC}[/tex] , [tex]Z_{1}F= \frac{2r^2}{OD}[/tex] и [tex]X_{1}F=\frac{2r^2}{OA}[/tex].
Сега нека приложим теоремата на Птоломей за вписания четириъгълник [tex]Z_{1}YX_{1}F[/tex]
[tex]Z_{1}Y.FX_{1}+X_{1}Y.FZ_{1}=X_{1}Z_{1}.FY[/tex]
Като заместим получаваме : [tex]\frac{2r^2}{OC}.\frac{2r^2}{OA}+\frac{2r^2}{OB}.\frac{2r^2}{OD}=X_{1}Z_{1}[/tex], но [tex]X_{1}Z_{1}=XZ[/tex] [tex]\Rightarrow 4r^2.(\frac{1}{OC.OA}+\frac{1}{OB.OD})=XZ.FY[/tex]
[tex]4r^4(\frac{OB.OD+OC.OA}{OA.OB.OC.OD})=XZ.FY[/tex]
[tex]OA.OC+OB.OD=\frac{XZ.FY.OA.OB.OC.OD}{4r^4}[/tex]
От (4) [tex]OA.OC+OB.OD=\sqrt{AB.BC.CD.AD}[/tex]
Дано да съм бил полезен 
| Description: |
|
| Големина на файла: |
55.19 KB |
| Видяна: |
1226 пъти(s) |
|
|
|
|
NoThanks
Гост
|
| Пуснато на: Mon Apr 13, 2009 8:44 pm Заглавие: |
|
|
Браво и мерси! За жалост, в момента не мога да ти дам репутация, щото аз съм последният, който ти е давал, но при първа възможност ще се разпиша 
|
|
|
|
|
Меню
