Задача от областен кръг на олимпиада по математика 9 кл 2005

[The Pink Panther]

Нека а и b са цели числа и k e естествено число. Докажете, че ако уравнението
[tex]a^{k}x - b^{k}y = a - b[/tex] има за решение двойка (x,y) от последователни цели числа, то
|a - b| е точна k-та степен.

[Реклама]

[Пафнутий]

Тази толкова време съм я мъчил. И аз искам да видя решение

[The Pink Panther]

Я да ви пусна и едно диофантово уравнение като съм започнал:
Да се реши в цели числа:
[tex]x^{3} + 10x - 1 = y^{3} + 6y^{2}[/tex]
Уравнението е давано на областен кръг за 9. клас през 2004 година и мисля, че няма решение, но не знам как да го докажа.

[Saposto_MM]

Значи за първата задача аз полагам d=(a,b) и a=da₁ и b=db₁. Сега имаме два случая, който са аналогични. Ако y=x+1, решаваме уравнението относно x и получаваме [tex]x=\frac{b^{k}+a-b}{a^{k}-b^{k}}=\frac{d^{k-1}b_{1}^{k}+a_{1}-b_{1}}{d^{k-1}\left(a_{1}^{k}-b_{1}^{k}\right)} [/tex]. Нататък се опитайте да довършите сами.
За втората задача решението ми е много лошо. Заместваме x=y+k, третата степен на y се елеминира и продължаваме като квадратно относно y.

[The Pink Panther]

Извинявай, но би ли подсказал още малко за първата задача, защото не мога да включа как да продължа.

[Saposto_MM]

Като използваш, че последната дроб трябва да е цяло число докажи, че [tex]d^{k-1}|a_{1}-b_{1}[/tex] и, че [tex]a_{1}-b_{1}|d^{k-1}[/tex].

[The Pink Panther]

Мерси много.