Проблем с решение: f(f(x, y)) = (x*x, x*y + y)

[Kabad]

Да се намери [tex]f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/tex] такава че: [tex]\forall x,y \in \mathbb{R}:{\text{ }}f\left({f\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {x^2 ,x \cdot y + y} \right)[/tex]

Намерих следното решение:

[tex]f\left( {x,y} \right) = \left( {\left| x \right|^{\sqrt 2 } ,s\left( x \right) \cdot y} \right)[/tex]

където:

[tex]s\left( x \right) = \begin{cases} \sqrt{2} x^{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}} \prod _{n=1}^{\infty } e^{\frac{(-1)^n \left(4^{-n}-1\right) \zeta (2 n) \left(\ln (x)\right)^{2 n}}{\left(1+2^n\right) n \pi ^{2 n}}} & x>0 \\ 1 & x=0 \\ \frac{x+1}{s\left((-x)^{\sqrt{2}}\right)} & x<0\end{cases}[/tex]

Може ли това решение да се опрости?
Съществува ли по-елегантно решение?
Интересувам се от по-просто решение (за предпочитане непрекъснато).

Ето как получих горното решение:

Допуснах че: [tex]f\left( {x,y} \right) = \left( {\left| x \right|^{\sqrt 2 } ,s\left( x \right) \cdot y} \right)[/tex]

От тук се получава: [tex]s\left( x \right) \cdot s\left( {\left| x \right|^{\sqrt 2 } } \right) = x + 1{\text{ }}\left( 1 \right)[/tex]

Замествам [tex]x[/tex] с [tex]e^x[/tex] в (1):

[tex]s\left( {e^x } \right) \cdot s\left( {e^{x\sqrt 2 } } \right) = e^x + 1{\text{ }}\left( 2 \right)[/tex]

Допускам че [tex]s\left( {\mathbb{R}^ + } \right) \subseteq \mathbb{R}^ +[/tex]. От (2) се получава:

[tex]\ln \left( {s\left( {e^x } \right)} \right) + \ln \left( {s\left( {e^{x\sqrt 2 } } \right)} \right) = \ln \left( {e^x + 1} \right){\text{ }}\left( 3 \right)[/tex]

Нека [tex]t\left( x \right) = \ln \left( {s\left( {e^x } \right)} \right)[/tex]. От (3) се получава:

[tex]t\left( x \right) + t\left( {x\sqrt 2 } \right) = \ln \left( {e^x + 1} \right){\text{ }}\left( 4 \right)[/tex]

На следния адрес е описан метод за решаване на функционални уравнения от вида [tex]y\left( {ax} \right) - by\left( x \right) = f\left( x \right)[/tex]:

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe1112.pdf

Тъй като [tex]\ln \left( {e^x + 1} \right) = \ln \left( 2 \right) + \frac{x}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {4^{ - n} - 1} \right)\zeta \left( {2n} \right)x^{2n} }}{{n\pi ^{2n} }}}[/tex], от (4) се получава:

[tex]t\left( x \right) + t\left( {x\sqrt 2 } \right) - \ln \left( 2 \right) - \frac{x}{2} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {4^{ - n} - 1} \right)\zeta \left( {2n} \right)x^{2n} }}{{n\pi ^{2n} }}}{\text{ }}\left( 5 \right)[/tex]

Допускам че [tex]w\left( x \right) + w\left( {x\sqrt 2 } \right) = t\left( x \right) + t\left( {x\sqrt 2 } \right) - \ln \left( 2 \right) - \frac{x}{2}[/tex] и [tex]w\left( x \right) = ax + b + t\left( x \right)[/tex]. От тук се получава че:

[tex]w\left( x \right) = t\left( x \right) - \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{x}{{1 + \sqrt 2 }} + \ln \left( 2 \right)} \right){\text{ }}\left( 6 \right)[/tex]

[tex]w\left( x \right) + w\left( {x\sqrt 2 } \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {4^{ - n} - 1} \right)\zeta \left( {2n} \right)x^{2n} }}{{n\pi ^{2n} }}}{\text{ }}\left( 7 \right)[/tex]

Използвайки упоменатия метод (няколко стъпки по-нагоре) се получава, че следната функция [tex]w[/tex] е решение на (7):

[tex]w\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \left( {4^{ - n} - 1} \right)\zeta \left( {2n} \right)x^{2n} }}{{\left(1+2^n\right) n\pi ^{2n} }}}{\text{ }}\left( 8 \right)[/tex]

Връщайки се стъпка по стъпка към [tex]s[/tex] се получава решение за [tex]\mathbb{R}^ + [/tex]:

[tex]\forall x \in \mathbb{R}^+:{\text{ }}s\left( x \right) = \sqrt{2} x^{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}} {\prod _{n=1}^{\infty } e^{\frac{(-1)^n \left(4^{-n}-1\right) \zeta (2 n) \left(\ln (x)\right)^{2 n}}{\left(1+2^n\right) n \pi ^{2 n}}}} {\text{ }}\left( 9 \right)[/tex]

Използвайки (1) и добавяйки случая [tex]s\left( 0 \right) = 1[/tex] се получава цялостно решение.

Благодаря,
Красимир

[Реклама]

[Kabad]

Използвайки Mathematica 7 опростих [tex]s[/tex] до:

[tex]s \left( x \right) = \begin{cases} \frac{{\left| x \right|}^{\sqrt{2}}-1}{x-1} & x\neq 1 \\ \sqrt{2} & x=1 \end{cases}[/tex]

Явно този форум (и вероятно останалите форуми от раздел "Висша математика") е/са загуба на време.

Красимир