Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача от руска олимпиада


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Apr 06, 2009 5:46 pm    Заглавие: Задача от руска олимпиада

Намерете най - малкото положително цяло число, което НЕ може да се представи във вида [tex]\frac{2^a - 2^b}{ 2^c - 2^d} [/tex], където [tex]a,b,c,d \in N[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Apr 06, 2009 7:30 pm    Заглавие:

Вижда се лесно, че числата [tex]1,2,3,..,9,10[/tex] могат да се представят по този начин. Нека да допуснем, че можем и да представим [tex]11[/tex] по същият начин. Б.О.О. [tex]a>b[/tex], [tex]c>d[/tex]. Тогава [tex]2^b(2^{a-b}-1)=11.2^d(2^{c-d}-1)[/tex]. От [tex]2^b|2^d[/tex] и [tex]2^d|2^b[/tex]=>[tex]b=d[/tex]. Тогава равенството придобива вида [tex]2^{a-b}-1=11.(2^{c-d}-1)[/tex]<=>[tex]11.2^{c-d}=2^{a-b}+10[/tex][tex](*)[/tex]=>[tex]11=\frac{2.(2^{a-b-1}+5)}{2^{c-d}[/tex], което възможно само ако [tex]c-d=1[/tex], но от [tex](*)[/tex]=>[tex]2^{a-b}=12[/tex], което е невъзможно-противоречие=>търсеното наи-малко число е [tex]11[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Tue Apr 07, 2009 8:11 am    Заглавие:

Всъщност очевидно най-малкото такова число ще е нечетно, т.е нямаше нужда да проверяш четните до 11. Аз интуитивно предполагах, че отговорът е 11, но не можах да докажа, че то не може да се престави Embarassed Браво!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.