Задача давана в ТУ 2005год.

[DevilFighter]

Решил съм задачата,но нещо отговорите които получавам аз не ми излизат с даденито отговори.И искам да знам дали работя правилно.
Аз получавам за отгворите :
а) cosα = (k² - 2k - 1) / 2
k прин. (1,3)

б)к = ( √2 + 1 )

[Реклама]

[Tony_89]

а)

Нека страната на ромба да е a.
Нека DO да е h,l и m в ▲ ACD.
P лежи на DO.

CM/AM = k
CO = AO =>
=> CM = AM + 2*MO
(AM + 2*MO)/AM = k
1 + 2*MO/AM = k
MO/AM = (k - 1)/2
AM/MO = 2/(k - 1)
(AO - MO)/MO = 2/(k - 1)
AO/MO - 1 = 2/(k - 1)
AO/MO = (k + 1)/(k - 1)

▲ MOP ~ ▲ AOD =>
=> AO/MO = DO/OP = (k + 1)/(k - 1)

ABCD - ромб =>
=> AC - l_<BAD =>
=> <BAC = <DAC = α/2

sin(α/2) = DO/AD = DO/a
DO = a*sin(α/2)
OP - радиуса на вписаната в ▲ ADC окръжност =>
=> OP = S_ADC/p_ADC

S_ADC = AD*CD*sin(180° - α)/2 =
= a²*sin(α)/2

cos(α/2) = AO/a
AO = a*cos(α/2)
AC = 2*AO = 2*a*cos(α/2)

p_ADC = (AC + AD + CD)/2 = (a + a + 2*a*cos(α/2))/2 = a + a*cos(α/2) =>
=> OP = (a²*sin(α)/2)/(a + a*cos(α/2)) =
= a*sin(α)/(2*(cos(α/2) + 1))

DO/OP = a*sin(α/2)/(a*sin(α)/(2*(cos(α/2) + 1))) =
= (cos(α/2) + 1)/cos(α/2)

(cos(α/2) + 1)/cos(α/2) = (k + 1)/(k - 1)

α E (0;п) =>
α/2 E (0;п/2) =>
=> cos(α/2) E (0;1)

Нека cos(α/2) = u E (0;1)

(u + 1)/u = (k + 1)/(k - 1)
u = (k - 1)/2

(k - 1)/2 E (0;1)

k E (1;3)

cos(α/2) = (k - 1)/2
cos(α) = 2*cos(α/2)² - 1 = (k² - 2*k - 1)/2

б)

cos(п/2) = 0
(k² - 2*k - 1)/2 = 0
k₁ = √2 + 1
k₂ = 1 - √2, което не E ДС
k = √2 + 1

[uktc]

Браво, Тони, много ми хареса решението ти.
Между другото проблема с кирилицата е във форума, а не в теб. Преди малко като заредих тази страница, всичко си беше наред.

[uktc]

Между другото се сетих за малко по-кратък начин.
OM=AO-AM=(AM+CM)/2-AM=(CM-AM)/2=(k-1)AM/2=>ОМ/АМ=(k-1)/2=> OD/OP=(k-1)/2. От AP-ъглополовяща в ▲AOD=> AP/DP=AO/OD => АО/АD=(k-1)/2=cos(α/2)
cosα=2[cos(α/2)]^2 -1=2[(k-1)/2]^2-1=(k^2 - 2k - 1)/2

[Tony_89]

По-добър е твоя, uktc

[DevilFighter]

Малеее открих си грешката.Колко глупава грешка бях направил не е истина.Така е като бърза човек и прави грешки и после се чуди какво става.Благодаря много момци.Благодаря за съдействието. И аз получавам същите отговори вече.Аз по - малко по -различен начин съм работил,но крайния резултат е същия.Означил съм си AM = x,CM = kx и оттук АC=x(k+1) и така изразявам всичко чрез х и α .

[uktc]