Задача за олимпиада

[v1rusman]

Докажете, че ако [tex]m = 2+2\sqrt{28n^2+1} [/tex] е цяло число за някое [tex]n\in N[/tex], то [tex]m [/tex] е точен квадрат.

[Реклама]

[zhivko_sh]

лесно се вижда, че m се дели на 4, m=4k и тогава стигаме до [tex]7n^{2}=k(k-1) [/tex] и значи [tex] k=7a^{2}, k-1=b^{2}[/tex] или [tex]k=a^{2}, k-1=7b^{2} [/tex]. В първия случай следва, че 7 дели [tex]b^{2}+1 [/tex], което не е възможно, а във втория следва, че [tex] m=4a^{2}[/tex] е точен квадрат.