Ф(х) с 2 модула

[Swiftle]

Здравейте, нуждая се от малко помощ за една задача. Ето я и нея:

[tex]\frac{|x^2+x-2|+|x^2-x-2|}{1+x^2 }[/tex] = f(x)

Да се намери максималната стойност на Ф(х) (1)
Да се намерят стойностите на х, за които Ф(х)<=1 (2)
Да се намери ЛИМЕС на Ф(х) при х клонящто към ∞ (3)

Решавал съм задачи с един модул и доколкото знам раглеждам Г(х) където модулът се маха, след тожа там където, Г(х) минава под 0, Ф(х) прави същото но от положителната страна на Ох. Но за 2 модула си нямам и идея а не мисля че е много разумно да почвам да я разглеждам в различните интервали.

[Реклама]

[r2d2]

Вижда се, че f(x)=f(-x), т.е може да разглеждаме само[tex] x \ge 0.[/tex]

За 3 - и двата квадратни тричлена в числителя
от някое място нататък са положителни и границата е 2.
1 и 2 оставям за други!

[TheXFiles]

По (1):

[tex]f(x)=\frac{|x^2+x-2|+|x^2-x-2|}{1+x^2 }[/tex]
Първия модул се занулява при [tex]x_{1}=-2; x_{2}=1[/tex], а втория при [tex]x_{1}=-1; x_{2}=2[/tex]
Модулите се разкриват по следния начин:
++ (-2) -+ (-1) -- (1) +- (2) ++
Понеже функцията е четна, както r2d2 е споменал, ще я разглеждаме за [tex]x\ge 0[/tex]

[tex]f(x)=[/tex]
[tex]\frac{-2x^{2}+4}{x^{2}+1 }, x\in [0;1)[/tex]
[tex]\frac{2x}{x^{2}+1 }, x\in [1;2)[/tex]
[tex]\frac{2x^{2}-4}{x^{2}+1 }, x\in [2;+\infty )[/tex]

[tex]f'(x)=[/tex]
[tex]\frac{-12x}{(x^{2}+1)^2 }, x\in [0;1)[/tex] => е растяща за [tex]x\in (-\infty;0 )[/tex] и намаляваща за [tex]x\in (0;+\infty )[/tex] => НГС [tex]f(0)=4[/tex]
[tex]\frac{-2x^{2}+2}{(x^{2}+1)^2 }, x\in [1;2)[/tex] => e растяща за [tex]x\in (-1;1)[/tex] и намаляваща за [tex]x\in (-\infty;-1 )\cup (1; +\infty )[/tex] => НГС [tex]f(1)=1[/tex]
[tex]\frac{12x}{(x^{2}+1)^2 }, x\in [2;+\infty )[/tex] => e растяща за [tex]x\in (0;+\infty )[/tex] и намаляваща за [tex]x\in (-\infty;0 )[/tex]
Границата на [tex]\frac{2x^{2}-4}{x^{2}+1 }[/tex] при [tex]x->+\infty[/tex] e [tex]2[/tex]

=> НГС [tex]f(x)=f(0)=4[/tex]

По (2):

Границата на [tex]\frac{-2x^{2}+4}{x^{2}+1 }[/tex] при [tex]x->1; x<1[/tex] е 1 => Стойностите на функцията са по-големи от 1 в интервала [tex][0;1)[/tex]

При [tex]x\in [1;2) [/tex] НГС на f(x) е 1 т.е. в този интервал [tex]f(x)\le 1 (1)[/tex]

При [tex]x\in [2;+\infty) [/tex] НМС [tex]f(x)=f(2)=\frac{4}{5 }[/tex] т.е. има стойности на [tex]x[/tex], за които [tex]f(x)\le 1[/tex] в този интервал, които са решениеята на неравенството:
[tex]\frac{2x^{2}-4}{x^{2}+1 }\le 1[/tex]
[tex]x\in [-\sqrt{5}; \sqrt{5} ][/tex], след като засечем с интервала получаваме [tex]x\in[2; \sqrt{5}][/tex]
Като обединим [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] получаваме, че [tex]f(x) \le1[/tex] за [tex]x\in [1; \sqrt{5}][/tex]