Трапец

[NoThanks]

Трапер е описан около окръжност с радиус r и вписан в окръжност с радиус R, като центърът на описаната около трапеца окръжност лежи в/у вписаната. CH e височина към AB и с [tex]\rho[/tex] е означен радиусът на вписаната в ▲BCH окръжност. Да се докаже, че [tex]R\rho = Rr - r^2[/tex]

[Реклама]

[_sssss]

Това би трябвало да е чертежът.
Пробвах така:
[tex]FO_{2}=2r; \; O_{2}C=R \Rightarrow \; CF=\sqrt{R^2 - 4r^2} \\ HB=O_{2}B-CF=R-\sqrt{R^2 - 4r^2} \\ CH=2r \\ \\ AB+CD=2CB \Rightarrow CB=R + \sqrt{R^2 - 4r^2}[/tex]

от формулата r=p-c за ▲BCH намираме [tex]p=\frac{HB+CH+CB}{2}-CB[/tex]
[tex]p=\frac{2r + 2R +\sqrt{R^2 - 4r^2} -\sqrt{R^2 - 4r^2}}{2} - R -\sqrt{R^2 - 4r^2} \\ p=r+R-R-\sqrt{R^2 - 4r^2}[/tex]
[tex]p=r-\sqrt{R^2 - 4r^2} | *R \Rightarrow \; (1) \; Rp=Rr - \sqrt{R^2(R^2 - 4r^2)}[/tex]
от Питагоровата теорема за ▲BHC =>
[tex]HB^2+CH^2=CB^2 \\ R^2 + R^2 - 4r^2 - 2R\sqrt{R^2 - 4r^2} + 4r^2=R^2 + R^2 - 4r^2 +2R\sqrt{R^2 - 4r^2} \\ R\sqrt{R^2 - 4r^2}=r^2 \\ R^4 -4R^2r^2 - r^4=0 \\ R^2=2r^2+\sqrt{5}r^2[/tex]
Заместваме в (1), където е нужно:
[tex]Rp=Rr - \sqrt{r^2(2+\sqrt{5})(2r^2 + r^2\sqrt{5} - 4r^2)}\\ Rp=Rr - r^2\sqrt{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} \\ Rp=Rr - r^2[/tex]

Умрях няколко пъти докато го напиша, сега остава да не е вярно.

[martosss]

Ето го и моето решение
Надявам се за всички е ясно, че центърът т.О на описаната около трапеца окръжност е средата на отсечката АВ, нека средата на СД е М, а пък СН и ДК са височини от С и Д към АВ.
Тогава нека си означим CD=2x. Имаме АВ=2R, DK=MO=CH=2r.
Имаме [tex]BH=AK=\frac{AB-CD}{2}=R-x[/tex]
От вписаната в трапеца окръжност имаме [tex]AB+CD=2BC\Right BC=R+x[/tex]
Сега от Питагоровата теорема за [tex]\Del HBC\Right (2r)^2+(R-x)^2=(R+x)^2\Right x=\frac{r^2}{R}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}*CH=2S_{HBC}+S_{HCDK}\\\frac{2(R+x)*2r}{2}=\frac{2\rho *(R+x+R-x+2r)}{2}+2r*2x\\(R+x)r=\rho *(R+r)+2rx\\\rho=\frac{r(R-x)}{R+r}\\R*\rho=\frac{r(R-x)}{R+r}*R=\frac{r(R-\frac{r^2}{R})}{R+r}*R=\frac{r(R-r)(R+r)}{R+r}=r(R-r)[/tex]

[r2d2]

[martosss]

хаха, да, наистина това е правоъгълен триъгълник и се изразява по-лесно хубава задачка