Неравенство с a + b + c = 1

[Pinetop Smith]

Числата a, b и с са положителни и сборът им е 1. Да се докаже, че

(a+1)(b+1)(c+1) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c)

Задачата е от руско състезание.

[Реклама]

[Kubrat]

Няма да ви отнемам удоволствието от решаването на неравенството; просто бих помолил Ники да даде и останалите задачи от този конкурс/състезание (ако ги има).

[Pinetop Smith]

Заповядай: http://imomath.com/othercomp/Rus/RusMO491.pdf

[RIK]

Чрез разкриване на скоби получаваме:
[tex](1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c)[/tex]
[tex]\Right 1+(a+b+c)+ab+bc+ca+abc\ge 8(1-a-b-c+ab+bc+bc-abc)[/tex]
[tex]\Right 2+ab+bc+ca+abc\ge 8(ab+bc+ca-abc)[/tex]
[tex]\Right 2+9abc\ge 7ab+7bc+7ca[/tex], т.е. за да се докаже исканото неравенство е нужно да докажем последното неравенство, поради еквивалентността на преобразуванията.
Неравенството [tex]ab+bc+ca\le \frac{(a+b+c)^2}{3 }[/tex] е очевидно вярно за произволни числа. Замествайки със сумата на числата [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex], получаваме, че [tex]3ab+3bc+3ca\le 1[/tex]. [tex] (1)[/tex]
От друга страна при умножаването на неравенствата [tex]\sqrt{(a+b-c)(a-b+c)} \le a, \sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \le b, \sqrt{(a-b+c)(b+c-a)} \le c[/tex] получаваме, че ([tex]a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)\le abc.[/tex] (Средно геометрично - Средно аритметично) Като заменим в това неравенство със сумата [tex]a+b+c=1, [/tex]получаваме, че [tex](1-2a)(1-2b)(1-2c)\le abc,[/tex] което след разкриване на скоби се свежда до вярното за положителни числа неравенство [tex]4ab+4bc+4ca\le 9abc+1.[/tex] [tex](2)[/tex]
Чрез сумиране на неравенствата [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] получаваме, че [tex]2+9abc\ge 7ab+7bc+7ca,[/tex] което трябваше да докажем.
Знаеш ли някакво друго решение на задачата?

[Kubrat]

Радо, много мъка за нещо просто.
Скица на решението:
1. заместваме 1=a+b+c във всяка скоба
2. полагаме x=a+b; y=b+c; z=a+c
3. разкриваме скобите и съкращаваме 2xyz и от 2те страни
4. Неравенството следва от СА-СГ
Q.E.D.

[Pinetop Smith]

(x+y)(y+z)(z+x) ≥8xyz, т.е. така, както го прави и Кубрат.

[martosss]

Принципно и аз я реших тази задача
Навсякъде където пише 1 го заместих с а+б+с и разкрих скобите, след което съкратих половината неща и доказах останалото, то май се получаваше нещо от сорта на
2a³+2b³+2c³≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
Което е еквивалентно на
(a+b)(a-b)²+(b+c)(b-c)²+(a+c)(a-c)²≥0
И готово Сега ме мързи да разписвам това, което се получава след разкриване на скобите, но може и да го напиша ако искате

[Saposto_MM]