Уравнение

[zlobil]

Някой може ли да ми каже как се решават уравнения от този тип:

x(na stepen 4) + x(stepen 3) +2x-2=0

Мерси

----------------------------------------------------------------------------------
Редактирано от teacher
Пишете го така:

x⁴ + x³ + 2x - 2=0


x< sup>4< /sup> + x< sup>3< /sup> +2x-2=0

само, че няма интервали(вижте го долу в легендата)

[Реклама]

[uktc]

Със схема на Хорнер. В случая сбора на коеф. е 0, т.е. със сигурност числото 1 е корен.

[Tony_89]

zlobil, да не би да си сбъркал нещо в условието, защото ако то е:

x⁴ + x³ + 2*x - 2 = 0

Измислих само това:

x⁴ - 4 + x³ + 2*x + 2 = 0
(x² + 2)*(x² - 2) + x*(x² + 2) + 2 = 0
(x² + 2)*(x² + x - 2) + 2 = 0

|x² + 2 >0
|2 > 0 =>
=> x² + x - 2 < 0
x E (-2;1)

[uktc]

Оппа, нещо май не мога да смятам
Преди време даскала ми беше решавал подобна задача, но абсолютно нищо не запомних! Изключително сложно, с използване на много техника се решава.
Тони доказа, че всички корени на уравнението(ако има такива) са в интервала (-2;1). Графиката на функцията от друга страна показва, че уравнението има 2 корена. Използвайки теоремата на Болцано, можем да определим и приблизителните стойностина корените, но не ми се занимава.
Както казах, точните стойности на корените се определят много трудно, лично аз не мога да ги намеря.

[Infernum]

Хора!
Не се шашкайте, грешка няма!! Това си е едно обикновено алгебрично уравнение от четвърта степен. Верно е, че се решава тежко, ама вие сте свикнали всичко да си става ей така, да е нагодено за решаване с хоп-хоп, и като е малко по-различно, мислите че има грешка.
Математиката е дебела работа да ви кажа. Даже тия задачки дето се решават в училище са много добре подбрани изпипани и нагласени частни случаи. В реални условия намиране на точно решение на някакво такова уравнение е дори невъзможно, защото само коефициентите, може да са получени от измервания, или да приемат стойности с някаква вероятност.

[zlobil]

Няма грешка момчета,това е от един изпит в СУ.Благодаря за отговорите

[Methuselah]

Съвсем между другото, като става дума за Хорнер, италианците си мислят че неговата схема е измислена изцяло от господин Руфини, който какъв мислите е по народност... италианец! хахаха жабарите са зле

[Tony_89]

Открих задачата в сборника на Лозанов и Тонов.
Условието е не да се реши уравнението, а да се докаже, че има точно един положителен и точно един отрицателен корен.

[DevilFighter]

А как доказвате,че има точно един отриц. и точно 1ин пол. корен.Нали след като получим интервала x E ( -2 ; 1 ) и за да докажем че има точно един корен в интервала (-2;0) и в инт. ( 0 ; 1) използваме Теорема на Болцано.Нека f(x) = x⁴ + x³ + 2x - 2
f(0) * f(1) < 0 това условието за да има корен в този интервал(поне така ми е казала учителката) .Това условие е изпълнено,получавам -4 < 0
И в другия интервал (-2;0) се получава
f(-2) * f(0) < 0 => -4 < 0 => има корен в този интервал

[uktc]

Съмнявам се, че може без производни. Без тях не виждам как ще докажеш единствеността на двата корена!

Решение на задачата с условието на Тони:
x^4+x^3+2x-2=0
Всяко х е допустимо.
Нека f(x)=x^4+x^3+2x-2.
f'(x)=4x^3+3x^2+2
f''(x)=6x(2x+1).
Първо ще изследвам графиката на f'(x).
f''(x) е положителна в (-oo;-1/2), отрицателна в (-1/2;0), положителна в (0;оо).
f(-1/2)=9/4.
f(0)=2.
lim(x->-oo){f'(x)}=-oo
lim(x->oo){f'(x)}=oo
f'(-1)=1>0
f'(-2)=-18<0
По Болцано следва, че f'(x) има корен в (-2;-1). Нека този корен е x*.
След изчертаване графиката на f'(x) се вижда, че x* е единствения корен на f'(x). Също се вижда, че f' е отрицателна в (-oo;x*) и положителна в (x*;oo).
Сега f(-2)>0, f(-1)<0, т.е. f(x) има нула в (-2;-1). Нека тази нула е x'.
С Болцано установяваме, че x'<x*.
Пак от Болцано, f(x) има нула в (0;1). Нека тази нула е x''.
Но f(x) има единствен ексремум, който се достига при x=x*. f(x) намалява при x<x* и расте при x>x*.

lim(x->-oo){f(x)}=oo
lim(x->oo){f(x)}=oo.

След елементарно щрихиране на графиката на f(x) се вижда, че x' и x'' са единствените корени на f(x). Както доказахме, x'<0, x''>0, с което можем да счетем задачата за решена.