Уравнение

[NoThanks]

Да се намерят всички ст-ти на параметъра а, при които уравнението:
[tex]cos^2x +(a-2)^2cosx +a(a-2)(a-3) = 0[/tex] има точно три корена в интервала [tex][0; 3\pi][/tex]

[Реклама]

[crazymonster]

Идеята ми е да положиш cosx=t
оттам ще получиш параметрично уравнение и го решаваш. Но дотам ми свършват идеите!

[_sssss]

[tex]cosx=b \; \; \; b\in(-1;1)[/tex] има 1 решение в [tex](0;\pi)[/tex] и точно 3 в [tex](0;3\pi)[/tex]
И си мисля за [tex]f(0)f(\pi)<0[/tex]
Не знам дали съм на прав път, все пак ще пробвам да разпиша.


Edit: [tex]a\in(\frac{3-\sqrt{17}}{2}; 1)\cup(2; \frac{3+\sqrt{17}}{2})[/tex] ?

[mkmarinov]

Поради периода искаме уравнението да има едно решение в интервала [tex][0;\pi)[/tex] и едно в интервала [tex][\pi;2\pi)[/tex]. Уравнението [tex]cosx=u; u \in [-1;1][/tex] винаги има две решения, които са симетрични спрямо абцисата, което прави 3 решения в интервала [tex][0;3\pi][/tex], освен когато u=±1 (тогава са 2). Тогава искаме квадратното уравнение да има само един корен в интервала (-1;1).
Върхът на параболата е в [tex]-\frac{(a-2)^2}{2} \le 0[/tex]. Когато той е в нулата, уравнението ни придобива вида [tex]cosx=0[/tex], което ни удовлетворява и [tex]a=2[/tex] е решение.
Остава ни само да видим кога уравнението има единствен корен в (0;1), т.е. f(0).f(1)<0.

[_sssss]

Моите разсъждения бяха същите, с изключение на това, че ти отхвърляш (-1;0). Защо? Не би ли трябвало да търсим 1 корен в (-1;1)?

[mkmarinov]

Защото върхът на параболата е с абциса < 0. И всеки корен между -1 и 0 има своят симетричен между 0 и α, където α<1.

Обаче получавам кубично уравнение, на което не мога да му изкарам корените .
И на теб май трябва да ти е [tex]\frac{3+\sqrt{17}}{2}[/tex]