задачка от примерна тема УАСГ

[alexandropolis]

мъчи ме една производна от известно време и не мога да си доизкарам задачата
това е част от б) на 2зад. от примерна тема за УАСГ
имаме една отсечка, която е равна на [tex]\sqrt{1 + \frac{1}{4sin^{2}a } - cotga } [/tex]
трябва да се намери най-малката възможна стойност за тази отсечка

ако някой иска мога да напиша цялата задача

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Напиши я.

[alexandropolis]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с хипотенуза 1. К-среда на AC, L- среда на BC
точка D лежи на отсечката АВ, а точка Е лежи върху правата АВ, така че А е между Е и D.
Съществува точка F такава, че KL е средна отсечка в триъгълника EDF, [tex]\angle DEF[/tex] = а

а) да се докаже, че [tex]DF^{2} [/tex] = 1+ [tex]\frac{1}{4sin^{2}a } [/tex] - cotga
б) да се докаже, че [tex] \frac{1}{ 5} \le cotga \le 1[/tex] и да се намери най-малката стойност на DF
в) Ако лицето на DKLB = [tex] \frac{1+ \sqrt{3} }{ 16} [/tex] , да се докаже, че [tex] a = \frac{\pi }{6 } [/tex]

[Spider Iovkov]

а) Нека да запишем: [tex]\angle ACB=90^\circ, \angle ABC=\angle BAC=45^\circ,[/tex]
[tex]AB=1, AC=BC=\frac{\sqrt{2}}{2}, K\in AC \Rightarrow AK=KC=\frac{\sqrt{2}}{4}; L\in BC \Rightarrow BL=LC=\frac{\sqrt{2}}{4}, KL||AB; D\in AB[/tex].
Сега, тъй като [tex]KL[/tex] е средна отсечка в правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex], то [tex]KL=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}[/tex]. От друга страна, понеже [tex]KL[/tex] е средна отсечка и в [tex]\triangle EDF[/tex], то [tex]\Rightarrow ED=1[/tex]. От това, че точката [tex]K[/tex] е средата на [tex]EF, \Rightarrow EK=KF[/tex]. Но по условие [tex]\angle AEK=\varphi[/tex] и [tex]\angle EAK[/tex] и [tex]\angle KAD[/tex] са съседни, откъдето [tex]\angle EAK=135^\circ[/tex]. От синусовата теорема за [tex]\triangle EAK \Rightarrow \frac{EK}{sin 135^\circ}=\frac{AK}{sin\varphi} \Leftrightarrow EK=\frac{AK sin135^\circ}{sin\varphi} \Leftrightarrow EK=\frac{1}{4 sin\varphi}[/tex]. Оттук [tex]\Rightarrow EF=2EK=2KF=2\frac{1}{4 sin\varphi} \Leftrightarrow EF=\frac{1}{2 sin\varphi}[/tex].
От косинусовата теорема за [tex]\triangle DEF \Rightarrow DF^2=EF^2+ED^2-2.EF.ED. cos\varphi \Leftrightarrow DF^2=(\frac{1}{2 sin\varphi})^2+1^2-\cancel 2.\frac{1}{\cancel 2 sin\varphi}, cos\varphi \Leftrightarrow DF^2=1+\frac{1}{4 sin^2 \varphi}-\cot\varphi[/tex].

[alexandropolis]

да, това и аз съм го направила...

[ганка симеонова]

Поправете ме, ако греша, но от [tex]\Delta EAK=>\alpha +\angle EKA=45^\circ =>\alpha <45^\circ =>cotg\alpha >1 [/tex]
[tex]DF^2=1+\frac{1}{4 }(cotg^2\alpha +1)-cotg\alpha=\frac{cotg^2\alpha-4cotg\alpha+5 }{ 4} =\frac{(cotg\alpha-2)^2+1 }{4 }\ge \frac{1}{4} [/tex], като равенство се достига за [tex]cotg\alpha =2 [/tex]=> НМС[tex]DF=\frac{1}{2 } [/tex]

[alexandropolis]

и само това...
а аз какви магии правих
мерси