Проблем с тригонометрични уравнения

[muq]

По принцип мога да решавам тригонометрични уравнения но не мога да се справя с такива в които се търси броя на решенията в определен интервал.

-

например:

cos3x + cosx = 0 в интервала x[0 ; π]

2sin²x + cosx - 1 = 0 в интервала x[π ; π]

-
решавам:

cotg2x = √3/3 в интервала (-π ; π)

2x = π/3 +kπ

x = π/6 + kπ/2

И не знам как да определя колко са решенията Какъв е алгоритъмът за решаването на подобни задачи ?

[Реклама]

[FuckYouAll]

Аз лично замествам к докато полученото не излезне от дадения интервал. Тъй kато k=±1,±2,±3...тоест принадлежи на Z, не е много трудно (особено в примерите ти), но сигурно има и по рационален начин...Та гледаш броя на решенията вписващи се в интервала ти и това е отговора.

cos3x+cosx=0
cos3x=-cosx
3x=±x+2kπ
x₁=kπ/2
2 решения, защото като заместим с 1 се получава π/2, а като заместим с 2-получаваме π
(в интервала е)
Има и още, защото не сме взели x₂
x₂=kπ
само 1 решение
...
Значи общо имаме 3 решения

[muq]

Просто се замества k с някое цяло число? Явно съм спал в час.

Но пак имам проблем с едно уравнение:

Колко е сумата от решенията на уравнението sin²x = 1 + cos²x ако x е [0; 2π]

какво правя аз:

sin²x = 1 + 1 - sin²x
2sin²x = 2
sin²x = 1
sinx = 1
x = π/2 + 2kπ

замествам k с 1: x = π/2 +2π и не е вътре
замествам k с -1: x = π/2 - 2п и то не е вътре
замествам k с 2: x = π/2 + 4п и пак не е вътре
...

Къде бъркам?

[FuckYouAll]

На мен ми е по-лесно да запишеш така:
х=(4к+1)π/2
...и се вижда, че както и да заместваш няма решения в този интервал, а не че няма решения изобщо.

[muq]

В отговорите пише 2π

[FuckYouAll]

Ами аз мисля, че нямаш грешка, но попринцип sinx=1 си е особен случай...

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[TheXFiles]

[tex]sin^{2}x = 1[/tex]
[tex]sinx = \pm 1 [/tex]
Или за по-лесно
[tex]sin^{2}x=1[/tex]
[tex]\frac{1-cos2x}{2 } =1[/tex]
[tex]cos2x=-1[/tex]
[tex]2x=(2k+1)\pi [/tex]
[tex]x=(2k+1)\frac{\pi}{2 } [/tex]

[muq]

Аха, мерси. Едно лесно уравнение за последно

Решенията на уравнението в интервала [ -π/2 ; π/2 ] са?

sin²x - cos²x = 1/2

sin²x - 1 + sin²x = 1/2

2sin²x = 3/2

sin²x = 3/4

sinx = + √3/2 sinx = - √3/2

x₁ = π/3 +2kπ x₂ = 2π/3 +2kπ x₃ = - π/3 +2kπ x₄ = 4π /3 + 2kπ

Сега замествам k с 1:

x = π/3 +2π не е в този интервал
x = 2π/3 +2π е в този интервал
x = - π/3 +2π не е в интервала
x = 4π /3 +2π е в този интервал

И аз получавам: x = 2π/3 +2kπ и x = 4π /3 + 2kπ

А в отговорите пише: ± π/3 и аз пак съм в грешка

[ганка симеонова]

[FuckYouAll]

[muq]

Като замесят с 0 пак се получава същото:

x = π/3 не е в интервала
x = 2π/3 е в интервала
x = - π/3 не е в интервала
x = 4π /3 е в интервала

[TheXFiles]

[FuckYouAll]

[TheXFiles]

[FuckYouAll]

Извинявам се адски много.

[muq]

Мерси на всички за помоща.