допитване за един интеграл

[ivelinkaaa]

[tex]\int_\frac{sinx.cosx}/{ \sqrt{2-sin^4 x} } dx[/tex]
[tex]\int_ \frac{sinx}/{\sqrt{2-sin^4 x}d(sinx)} [/tex] и после не ми идва нищо на ум

[Реклама]

[drago_prd]

Ето как бих решил задачата аз:

[tex]\int{\frac{\sin{x}\cos{x}dx}{\sqrt{2-\sin^{4}{x}}}}=\\=\int{\frac{\sin{x}d\sin{x}}{\sqrt{2-\sin^{4}{x}}}}=\\=\int{\frac{d\frac{\sin^{2}{x}}{2}}{\sqrt{2-\sin^{4}{x}}}}=\\=\frac{1}{2}\int{\frac{d\sin^{2}{x}}{\sqrt{2-\sin^{4}{x}}}}[/tex]
Полученият интеграл е табличен:
[tex]\int{\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}}=\arcsin{\frac{u}{a}}+C[/tex]

В нашия интеграл полагаме [tex]v=\sin^2{x}[/tex]:
[tex]\frac{1}{2}\int{\frac{d\sin^{2}{x}}{\sqrt{2-\sin^{4}{x}}}}=\\=\frac{1}{2}\int{\frac{dv}{\sqrt{(\sqrt{2})^2-v^2}}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\arcsin{\frac{v}{\sqrt{2}}}+C[/tex]

сега се връщаме при полагането и получаваме крайният отговор:
[tex]\frac{1}{2}\arcsin{\frac{\sqrt{2}\sin^2{x}}{2}}+C[/tex]

Надявам се да не съм объркал нещо...