Няколко тригонометрични задачи

[justify]

В момента си блъскам главата с тригонометрични задачи и както обикновено има някои, което не мога да реша, за които ще се радвам на вашата помощ

Ето първата с моето решение:
http://store.picbg.net/pubpic/5D/8F/5551886e3a925d8f.jpg

Реално отговорът е [tex]\frac{\pi }{4 } + \frac{k\pi }{ 2}[/tex]. В него влиза и моя, но аз поне не мога да го получа.

[Реклама]

[stflyfisher]

[tex] cos^{2}x-sin^{2}x=0[/tex]

Тук може да се реши по два начина:

I. [tex](cosx-sinx)(cosx+sinx)=0[/tex]

или

II. [tex]cos2x=0[/tex]

Но както ти си го решил, изпускаш решения:

[tex] cos^{2}x-sin^{2}x=0[/tex]
[tex] cos^{2}x=sin^{2}x[/tex]=> не само [tex]cosx=sinx[/tex], но и или [tex]cosx=-sinx[/tex]

[tex] 3^2=(-3)^2[/tex]

Освен това решенията на тригонометричните уравнения в общия случай са множества от решения.

[justify]

Уф тея решения.. винаги успявам да изпусна по някое Мерси много! Сега ще я реша наново.

След малко идват и още задачи..

[justify]

При ето тези 2 задачи въобще незнам как да подходя:

http://store.picbg.net/pubpic/00/4A/0821f65c0e3b004a.jpg

[geriniki]

не съм сигурна за първата задача,но ми се струва че е така -
sinx = x само при sin 0 = 0 а когато sinx = 0 х=2кπ

ноо като гледам втората сигурно логиката ми е грешна,защото тя не може да се реши по същия начин

[justify]

В единия случай x са градуси, а в другия е число. Незнам и аз..

[geriniki]

[justify]

Слагам и последните 3 задачи от тази тема, които не преборих. Ще съм много благодарен на помощта ви.

http://store.picbg.net/pubpic/39/B7/af3145edc51b39b7.jpg
http://store.picbg.net/pubpic/04/91/f3d06766b2200491.jpg
http://store.picbg.net/pubpic/98/B2/0707ea7cd7dc98b2.jpg

[ferry2]

[tex]\red 1.[/tex][tex]\cos^2 x+\sin 3x+1=0[/tex]

[tex]1-\sin^2 x+3\sin x-4\sin^3 x+1=0/.(-1)[/tex]

[tex]4\sin^3 x+\sin^2 x-3\sin x-2=0[/tex]

пол.:[tex]\sin x=y[/tex]

[tex]4y^3+y^2-3y-2=0[/tex]

С Хорнер намираме единствен реален корен [tex]y=1\Leftrightarrow \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow[/tex] решение е [tex]\red x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]\red2.[/tex][tex]\sin^8 x+\cos^8 x=1[/tex]

[tex](\sin^2 x)^4+(\cos^2 x)^4=1[/tex]

[tex]\left(\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2\right)^2+\left(\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2\right)^2=1[/tex]

[tex]\frac{(1-2\cos 2x+\cos^2 2x)^2 +(1+2\cos 2x+\cos^2 2x)^2}{16}=1[/tex]

[tex]\frac{1+4\cos^2 2x+\cos^4 2x\cancel{4\cos 2x}+2\cos^2 2x-\cancel{4\cos^3 2x}+1+4\cos^2 2x+\cancel{4\cos 2x}+2\cos^2 2x+\cancel{4\cos^3 2x}}{16}=1[/tex]

[tex]\frac{2+12\cos^2 2x+2\cos^4 2x}{16}=1/.16[/tex]

[tex]2\cos^4 2x+12\cos^2 2x-14=0/:2[/tex]

[tex]\cos^4 2x+6\cos^2 2x-7=0[/tex]

пол.:[tex]\cos^2 2x=y[/tex]

[tex]y^2+6y-7=0\Rightarrow y_1=1,y_2=-7[/tex], но [tex]y=\cos^2 2x\Rightarrow y=-7 [/tex] не е решение!

[tex]\cos^2 2x=1\Leftrightarrow (1-2\sin^2 x)^2=1\Leftrightarrow \cancel1-4\sin^2 x+4\sin^4 x=\cancel1\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow4\sin^2 x(\sin^2 x-1)=0[/tex]

[tex]4\sin^2 x=0\Leftrightarrow x=0^\circ [/tex] или [tex]x=\pi[/tex]

[tex]\sin^2 x-1=0\Leftrightarrow \sin^2 x=1 \Leftrightarrow \sin x=\pm 1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2},x=\frac{3\pi}{2}[/tex]
Окончателно решение е:
[tex]\red x=\frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z}[/tex]

[justify]

[ferry2]

Ами това си е формулата [tex](x+y+z)^2[/tex], не мисля, че щом има минус не може да се приложи! Само трябва да се внимава със знаците!

П.П. Разпиши [tex](1-\cos 2x)^4[/tex] и [tex](1+\cos 2x)^4[/tex] по формулите [tex](x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4[/tex] и [tex](x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4[/tex] да видиш, че се получава същото!

[mkmarinov]

2.
[tex]sin^8x+cos^8x-1=0[/tex]
[tex]sin^8x+cos^8x-sin^2x-cos^2x=0[/tex]
[tex](sin^8x-sin^2x)+(cos^8x-cos^2x)=0[/tex]
Изразите в скобите са по-малки или равни на 0, затова решение има само когато и двата са равни на нула.

[justify]

Да, ясно, а някой може ли да помогне за другите 3 задачи?