Контролни за БОМ и Всерусийската 30-31 Март 2009

[Saposto_MM]

Първо контролно

Задача 1. Ще наричаме поликуб всяко тяло (не непременно изпъкнало), което е съставено от слепени по стените си кубчета с ръб 1. Кубична кутия с ръб 50 е запълнена с няколко поликуба 1x1x8 и два тетракуба (това са поликубове, съставени от 4 кубчета с ръб 1).Да се докаже, че двата тетракуба са еднакви.

Задача 2. Даден е остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex]. Нека M и N са такива точки съответно от страните AC и BC, че AN=BM=d, където d е диаметърът на окръжността, минаваща през C и средите на отсечките AM и BN. Да се докаже, че центровете на окръжностите описани, около [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta MNC[/tex] са симетрични относно правата MN.

Задача 3. Нека n е естествено число. Едно естествено число [tex]a\le \frac{n}{2009}+1[/tex] се нарича добро, ако [tex]n^{2}[/tex] не дели [tex]a^{n}-a[/tex]. Да се докаже, че за безбройно много стойности на n съществуват добри числа.

Задача 4. Съществува ли неограничена редица [tex]a_{1},a_{2},\ldots[/tex] от положителни реални числа такива, че [tex]a_{n+2}=\frac{1}{2009}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n+1}\right)[/tex]

Второ контролно

Задача 1. Да се докаже, че не съществуват цели числа x и y, за които [tex]x^{4}+y^{7}=31^{10}[/tex].

Задача 2. Дадени са окръжност k и точка P, вътрешна за k. Точките [tex]A_{1},A_{2},\ldots,A_{10}[/tex] са разположени по k така, че [tex]\angle A_{1}PA_{2}=\angle A_{2}PA_{3}=\ldots=\angle A_{9}PA_{10}=36^\circ [/tex]. Да се докаже, че
[tex]PA_{1}+PA_{3}+PA_{5}+PA_{7}+PA_{9}=PA_{2}+PA_{4}+PA_{6}+PA_{8}+PA_{10}[/tex].

Задача 3. Даден е граф с n върха и k, [tex]1<k\le n[/tex] е естествено число. Известно е, че измежду всеки k върха на графа съществува връх, свързан с останалите [tex]k-1[/tex] върха. Да се намерят всички стойности на n и k, за които в графа със сигурност има връх от степен [tex]n-1[/tex].

Задача 4. Да се докаже, че ако a,b и c са реални числа, за които [tex]a+b+c=3[/tex] и [tex]abc\ge -4[/tex], то
[tex]5\left(ab+ac+bc\right)\le 12+3abc[/tex].
Кога се достига равенство?

Николай Николов - задача 4 от пърото контролно и задача 4 от второто контролно.
Хаим Хаимов - задача 2 от първото контролно.
Николай Белухов - задача 1 от първото контролно и задача 2 от второто контролно.
Останалите задачи трябва да са от китайски Олимпиади.

[Реклама]

[NoThanks]

Задача 4. Да се докаже, че ако a,b и c са реални числа, за които [tex]a+b+c=3[/tex] и [tex]abc\ge -4[/tex], то
[tex]5\left(ab+ac+bc\right)\le 12+3abc[/tex].
Кога се достига равенство?
Имаме: [tex]a+b+c=3[/tex]
=> Умножаваме по c и получаваме:
[tex]\fbox{ac+bc = 3c-c^2 (1)}[/tex]
Умножаваме по а и получаваме:
[tex]\fbox{ab+ac = 3a-a^2 (2)}[/tex]
Умножаваме по b и получаваме:
[tex]\fbox{ab+bc = 3b - b^2 (3)}[/tex]
Събираме (1)+(2)+(3) =
[tex]2(ab+ac+bc) = 3(a+b+c) - (a^2+b^2+c^2) = 9 - (a^2+b^2+c^2) [/tex]
=> [tex](ab+ac+bc)=\frac{9 - (a^2+b^2+c^2)}{2} [/tex]
От друга страна имаме:
[tex]a+b+c=3 \le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} => a^2+b^2+c^2 \ge 3[/tex]
Тогава [tex]ab+ac+bc \le \frac{9-3}{2} = 3[/tex] Като равенство имаме за a=b=c=1. Заместваме в неравенството, което искаме да докажем и очевидно това са стойостите, при които се получава равенство.
П.П някакви решения има ли пуснати?
Мислех, че и неравенство го бях направил, но май се оказа, че съм омазал.

[Пафнутий]

И от това, че [tex]ab+bc+ca\le 3[/tex] какво следва?

[NoThanks]

имаме равенство за a=b=c=1
п.п а и го ползвах после като доказвах неравенството, но както писах, то ми е грешно, а се усетих докато си пишех поста.

[Пафнутий]

При [tex]a=0,b=1,c=3[/tex] и циклични пермутации пак имаме [tex]ab+bc+ca=3[/tex]

[NoThanks]

да обаче нямаме а+b+c=3

[Пафнутий]

Да, прав си Но пак не мога да разбера от ab+bc+ca\le 3 какво следва (освен кога се достига равенство)

[NoThanks]

Един от въпросите в задачата е кога се достига равенство в [tex]5\left(ab+ac+bc\right)\le 12+3abc[/tex]. При a=b=c=1 имаме [tex]5(1+1+1) = 15 \le 12+3.1.1.1 =15[/tex] .Отг. при а=б=ц=1. А иначе ми вършеше работа за доказателството на неравенството и затова го бях получил

[Пафнутий]

А какво ще кажеш за -1,2,2?

[Pinetop Smith]

И си мислех, че съм го доказал неравенството, ама имам 4 т. Нищо, случва се

[pmgvr]

Ще може ли да пуснете и някакви решения? И евентуално имената на хората, които влизат в отбора.

[astateoftrance]

За решения не знам. Иначе хората в отбора (по ред на класирането) са:
1. Любослав Панчев, СМГ
2. Светозар Станков, СМГ
3. АЛЕКСАНДЪР МАКЕЛОВ, ПМГ БУРГАС (браво на наш'то момче, единствен в отбора който не е от София)
4. Борислав Вълков, СМГ
5. Галин Статев, НПМГ
6. Светослав Караиванов, НПМГ
Честито на класиралите се!

[Makelov]

Забравяш (или не съм ти казал ) че Борислав Вълков се отказа от участие във Всерусийската олимпиада, затова в отбора за нея ще бъде включен Рафаел Рафаилов.