Регистрирайте сеРегистрирайте се

За дванайсетокласници


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Mar 29, 2009 12:35 am    Заглавие: За дванайсетокласници

Ще предложа на тези, които ще полагат кандидатстудентски изпит, тема със задачи и техните решения. Надявам се да е полезна, Cool .

УСЛОВИЯ

Задача 1. Да се реши неравенството [tex]|3^x-2|\le 1[/tex].
Задача 2. Да се реши уравнението [tex]\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1[/tex].
Задача 3. В правилна четириъгълна пирамида ъглите между две съседни околни стени са равни на [tex]\beta[/tex]. Да се докаже, че [tex]\tan{\frac{\beta}{2}}=\frac{l}{h}[/tex], където с [tex]l[/tex] и [tex]h[/tex] са означени съответно дължините на околен ръб и височината на пирамидата.
Задача 4. В [tex]\triangle ABC[/tex] дължината на [tex]BC[/tex] е равна на [tex]10[/tex] и е изпълнено [tex]\tan\alpha:\tan\beta:\tan\gamma=1:2:3[/tex]. Да се намерят дължините на другите две страни.
Задача 5. Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{mx-3}{5-2x}, 5-2x\neq 0, m\in Z[/tex]. Да се намери числото [tex]m[/tex], ако се знае, че [tex]f(x)[/tex] е намаляваща в цялата си дефиниционна област и че [tex]f(m-2)>-\frac{m}{2}-\frac{1}{3}[/tex]. При намерената стойност на [tex]m[/tex] посредством методите на математическия анализ да се начертае графиката на функцията.
Задача 6. В равнобедрен [tex]\triangle ABC \, (CA=CB)[/tex] вписаната окръжност се допира до [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] в точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]. Намерете нейния радиус, ако [tex]AB=a[/tex] и [tex]MN=b[/tex].
Задача 7. Измежду всички цилиндри с периметър на осното сечение [tex]2p[/tex] да се намери обемът на този, който има най-голяма околна повърхнина.
Задача 8. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]2^x+a.2^{-x}=5[/tex] има единствен реален корен.
Задача 9. Нека [tex]f(x)=3x^2+3ax+a^2-1, a\in R[/tex]. Да се намерят стойностите на [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има два различни реални корена [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex], такива, че [tex]f(x_{1}^3)=f(x_{2}^3)[/tex].
Задача 10. Да се докаже, че уравнението [tex]x^4-x^3+2x-2=0[/tex] има точно един положителен и един отрицателен корен.

РЕШЕНИЯ

Задача 1. Можем да повдигнем двете страни на неравенството [tex]|3^x-2|\le 1[/tex] на втора степен, тогава [tex]|3^x-2|^2\le 1^2 \Leftrightarrow (3^x-2)^2-1^2\le 0 \Leftrightarrow (3^x-2+1)(3^x-2-1)\le 0 \Leftrightarrow (3^x-1)(3^x-3)\le 0 \Leftrightarrow x\in [0;1][/tex]. Тук просто използваме факта, че [tex]|g(x)|=\pm g(x)[/tex] съответно при [tex]g(x)\ge 0[/tex] и [tex]g(x)<0[/tex]. Оттук [tex]|g(x)|^2=g^2(x)=[-g(x)]^2[/tex]. Нека уточним, че можем да повдигаме на квадрат при дадено неравенство, ако двете му страни са неотрицателни, в случай че това условие не е изпълнено, тази операция е недопустима.
Задача 2. Преди да решим уравнението, ще отбележим само, че [tex]1^n=1[/tex] за всяко [tex]n[/tex], защото ще използваме това в решението. Понеже повдигането на трета степен понякога е доста отегчително и води до ужасно много сметки, ще извършим решаването по друг начин. Да въведем новите неизвестни [tex]\sqrt[3]{2x-1}=u, \sqrt[3]{x-1}=v[/tex]. Като повдигнем сега двете страни и на двете равенства на трета степен и изразим [tex]x[/tex], ще получим [tex]x=\frac{u^3+1}{2}, x=v^3+1[/tex]. Сега достигаме до системата
[tex]\begin{array}{||}u+v=1\\\frac{u^3+1}{2}=v^3+1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}u+v=1\\u^3+1=2(v^3+1)\end{array}[/tex]. От първото уравнение имаме [tex]u=1-v[/tex] и замествайки във второто, получаваме [tex](1-v)^3+1^3=2(v^3+1^3)[/tex]. Като използваме познатите формули за съкратено умножение, лесно намираме
[tex](1-v+1)[(1-v)^2-\cancel 1+v+\cancel 1]=2(v^3+1^3) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2-v)(1-2v+v^2+v)=2(v+1)(v^2-v+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2-v)(v^2-v+1)=2(v+1)(v^2-v+1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2-v=2(v+1) \Leftrightarrow v=0 \Rightarrow u=1[/tex].
Тук разделихме уравнението с числото [tex]v^2-v+1[/tex], защото то никога не може да приеме стойност нула:[tex]f(v)_{\cyr NMS}=f(v_{0})=f(-\frac{b}{2a})=\frac{1}{2}[/tex]. От [tex]v=0 \Rightarrow x=1[/tex].
Задача 3. Нека дадената пирамида да е [tex]ABCDM[/tex] с връх [tex]M[/tex], за която [tex]AM=BM=CM=DM=l, MO\bot (ABCD), MO=h[/tex]. Да построим [tex]BK\bot MC, K\in MC[/tex]. Понеже [tex]\triangle BCM \simeq \triangle CDM[/tex] (трети признак), то всички техни линейни елементи ще бъдат равни и [tex]\Rightarrow DK\bot MC[/tex], тоест [tex]\angle BKD=\beta[/tex] е двустенният ъгъл между съседни околни стени. И тъй като [tex]BK=DK[/tex], то [tex]\angle DKO=\angle BKO=\frac{\beta}{2}[/tex].
Сега очевидно [tex]MO\bot AC, MO\bot BD[/tex]. От [tex]\triangle BOM[/tex] (правоъгълен) лесно определяме [tex]BO^2=l^2-h^2[/tex], а от [tex]\triangle BOC[/tex] – [tex]BC^2=2(l^2-h^2)[/tex] (също правоъгълен).
Ако означим [tex]CK=x[/tex], то [tex]MK=l-x[/tex]. От [tex]\triangle BKC \Rightarrow BK^2+CK^2=BC^2[/tex], а от [tex]\triangle BKM[/tex] – [tex]BK^2+MK^2=BM^2[/tex]. От тези две равенства, изразявайки отсечката [tex]BK[/tex], определяме [tex]BC^2-CK^2=BM^2-MK^2[/tex], откъдето [tex]2(l^2-h^2)-x^2=l^2-(l-x)^2 \Leftrightarrow x=\frac{l^2-h^2}{l} \Rightarrow CK=\frac{l^2-h^2}{l}[/tex]. От [tex]\triangle BKC[/tex] (правоъгълен) [tex]\Rightarrow BK^2=BC^2-CK^2 \Leftrightarrow BK^2=\frac{(l^2-h^2)(l^2+h^2)}{l^2} \Rightarrow KO^2=\frac{(l^2-h^2)h^2}{l^2}[/tex] (от [tex]\triangle BOK[/tex], който е също правоъгълен). В такъв случай [tex]\tan^2{\frac{\beta}{2}}=\frac{BO^2}{KO^2} \Leftrightarrow \tan^2{\frac{\beta}{2}}=\frac{\cancel {(l^2-h^2)}l^2}{\cancel {(l^2-h^2)}h^2} \Leftrightarrow \tan^2{\frac{\beta}{2}}=\frac{l^2}{h^2} \Leftrightarrow \tan{\frac{\beta}{2}}=\frac{l}{h}[/tex], защото [tex]\frac{\beta}{2}<90^\circ[/tex].
Задача 4. За [tex]\triangle ABC[/tex] да въведем традиционните означения: [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex]. Използвайки факта, че тангенсът е отношение на синус и косинус, можем да запишем [tex]\tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{bc sin\alpha}{bc cos\alpha}=\frac{2S}{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}=\frac{4S}{b^2+c^2-a^2}[/tex]. По абсолютно същия начин намираме [tex]\tan\beta=\frac{4S}{a^2+c^2-b^2}, \tan\gamma=\frac{4S}{a^2+b^2-c^2}=[/tex]. Тогава от условието [tex]\Rightarrow \tan\alpha:\tan\beta:\tan\gamma=\frac{\cancel {4S}}{b^2+c^2-a^2}:\frac{\cancel {4S}}{a^2+c^2-b^2}:\frac{\cancel {4S}}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}:\frac{1}{a^2+c^2-b^2}:\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=1:2:3[/tex].
Но от условието на задачата [tex]BC=a=10[/tex]. Оттук [tex]\begin{array}{||}\frac{1}{b^2+c^2-100}:\frac{1}{c^2-b^2+100}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{b^2+c^2-100}:\frac{1}{100+b^2-c^2}=\frac{1}{3}\end{array}[/tex]. Разделяйки двете уравнения, получаваме [tex]\frac{c^2-b^2+100}{b^2-c^2+100}=\frac{3}{2}[/tex]. Въвеждаме новите неизвестни [tex]c^2=u, b^2=v \Rightarrow \frac{u-v+100}{v-u+100}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow 5u-5v=100 \Leftrightarrow u-v=20 \Leftrightarrow u=20+v \Rightarrow \frac{20+\cancel v-\cancel v+100}{20+v+v-100}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow v=160 \Rightarrow u=180 \Rightarrow b=4\sqrt{10}, c=6\sqrt{5}[/tex].
Задача 5. [tex]f(x)=\frac{mx-3}{5-2x}, x\neq \frac{5}{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(x)=\frac{(mx-3)'(5-2x)-(mx-3)(5-2x)'}{(5-2x)^2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{m(5-2x)+2(mx-3)}{(5-2x)^2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{5m-\cancel {2mx}+\cancel {2mx}-6}{(5-2x)^2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{5m-6}{(5-2x)^2}[/tex]
Ако производната на дадена функция приема отрицателни (или положителни) стойности в даден интервал, то функцията намалява (расте) в същия този интервал. По условие функцията е намаляваща в дефиниционната си област, тогава [tex]f'(x)<0 \Leftrightarrow 5m-6<0 \Leftrightarrow m<\frac{6}{5}[/tex].
Но [tex]f(m-2)>-\frac{m}{2}-\frac{1}{3}[/tex] (също по условие). Пресмятаме [tex]f(m-2)[/tex]: [tex]f(m-2)=\frac{m(m-2)-3}{5-2(m-2)} \Leftrightarrow f(m-2)=\frac{m^2-2m-3}{9-2m}[/tex].
Сега се връщаме към неравенството от условието на задачата:
[tex]\frac{m^2-2m-3}{9-2m}>\frac{-3m-2}{6} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{6(m^2-2m-3)+27m+18-6m^2-4m}{9-2m}>0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{\cancel {6m^2}-12m-\cancel {18}+27m+\cancel {18}-\cancel {6m^2}-4m}{9-2m}>0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 11m(9-2m)>0 \Leftrightarrow m>0, m<\frac{9}{2}[/tex].
Като се съобразим с факта, че [tex]f(x)\searrow[/tex] и [tex]m<\frac{6}{5}[/tex], то заключваме, че [tex]m\in (0;\frac{6}{5})[/tex]. И сега, тъй като [tex]m[/tex] е цяло, то [tex]m=1[/tex]. При намерената стойност на параметъра първоначалната функция добива вида [tex]f(x)=\frac{x-3}{5-2x}[/tex] (графиката по-долу).
Дефиниционна област на функцията. Функцията е дефинирана за всяко [tex]x\neq \frac{5}{2}[/tex].
Четност, нечетност и периодичност. Понеже [tex]f(x)\neq f(-x)[/tex] и [tex]f(x)\neq -f(x)[/tex], то функцията не е нито четна, нито нечетна. Тя не е периодична, защото няма участъци от нейната графика, които да се повтарят през равни интервали (както е например при тригонометричните функции).
Монотонност. От условието на задачата е ясно, че функцията е намаляваща в цялата си дефиниционна област.
Екстремуми. Понеже функцията няма критични точки (точки, анулиращи първата производна), то тя няма екстремуми.
Пресечни точки с координатните оси. Това се определя по следния начин:
– с [tex]Ox \Rightarrow y=0 \Rightarrow \frac{x-3}{5-2x}=0 \Rightarrow x=3[/tex];
– с [tex]Oy \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=\frac{0-3}{5-0} \Leftrightarrow y=-\frac{3}{5}[/tex].
Задача 6. Очевидно е, че [tex]CM=CN[/tex] (равни допирателни към вписаната окръжност). Тогава [tex]\angle CMN=\angle CNM[/tex] и [tex]\triangle ABC \sim \triangle MNC \Rightarrow \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NC}=\frac{AC}{MC}, \frac{AB}{MN}=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{BC}{NC}=\frac{a}{b}[/tex]. Ако [tex]NC=x[/tex], то [tex]\Rightarrow \frac{BN+NC}{NC}=\frac{a}{b} \Leftrightarrow \frac{\frac{a}{2}+x}{x}=\frac{a}{b} \Leftrightarrow \frac{a+2x}{2x}=\frac{a}{b} \Leftrightarrow x=\frac{ab}{2(a-b)} \Rightarrow CM=CN=\frac{ab}{2(a-b)}[/tex]. Оттук лесно намираме [tex]AC=BC=\frac{a^2}{2(a-b)}[/tex], използвайки, че [tex]AC=AM+MC=\frac{AB}{2}+MC[/tex].
Нека [tex]CH\bot AB, H\in AB[/tex]. Тогава [tex]AH=BH=AM=BN=\frac{a}{2}[/tex] (също равни допирателни). Да означим [tex]\angle ACH=\angle BCH=\frac{\gamma}{2}[/tex]. От [tex]\triangle AHC \Rightarrow sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{AH}{AC} \Leftrightarrow sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{\cancel a}{\cancel 2}.\frac{\cancel 2(a-b)}{\cancel a.a} \Leftrightarrow sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{a-b}{a}[/tex]. От основното тригонометрично тъждество определяме [tex]cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sqrt{(2a-b)b}}{a}[/tex]. И използвайки факта, че [tex]sin\gamma=2 sin{\frac{\gamma}{2}} cos{\frac{\gamma}{2}}[/tex], след кратки сметки намираме [tex]sin\gamma=\frac{2(a-b)\sqrt{(2a-b)b}}{a^2}[/tex].
Пресмятаме [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{AC.BC. sin\gamma}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{a^2\sqrt{(2a-b)b}}{4(a-b)}[/tex].
От формулата [tex]S_{\triangle ABC}=pr[/tex] изразяваме радиуса на вписаната окръжност и получаваме [tex]r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}[/tex], където [tex]p=\frac{a(2a-b)}{2(a-b)}[/tex]. Заместваме директно стойностите и определяме [tex]r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{b}{2a-b}}[/tex] (чертежът е прикачен).
Задача 7. В решаването на задачата използваме формулите за обем и околна повърхнина на цилиндър: [tex]V=\pi r^2h, S_{\cyr ok.}=2\pi rl[/tex]. Ще разгледаме случая за прав кръгов цилиндър. Да означим диаметрите на двете основи на цилиндъра съответно с [tex]2x[/tex]. Тогава височината на цилиндъра е числено равна на неговата образувателна: [tex]h=p-2x[/tex]. От формулата за околна повърхнина лесно определяме [tex]S_{\cyr ok.}=2\pi.x.(p-2x) \Leftrightarrow S_{\cyr ok.}=2\pi xp-4\pi x^2[/tex]. Да разгледаме последното като функция на [tex]x[/tex]:
[tex]f(x)=2\pi xp-4\pi x^2[/tex].
Производната на тази функция е [tex]f'(x)=2\pi p-8\pi x[/tex] и се анулира в една-единствена точка: [tex]x=\frac{p}{4}[/tex]. От [tex]f''(x)=-8\pi, f''(x)<0 \Rightarrow f_{max}=f(\frac{p}{4})[/tex]. Така намерихме, че радиусите на основите на цилиндъра са равни на [tex]\frac{p}{4}[/tex], а дължината на височината е [tex]h=l=\frac{p}{2}[/tex]. При тези стойности околната повърхнина има максимална стойност. Сега пресмятаме обема: [tex]V=\pi .(\frac{p}{4})^2.\frac{p}{2} \Leftrightarrow V=\frac{\pi p^3}{32}[/tex].



Равнобедреният триъгълник и вписаната му окръжност.png
 Description:
 Големина на файла:  16.91 KB
 Видяна:  1871 пъти(s)

Равнобедреният триъгълник и вписаната му окръжност.png



Дробна функция І.jpg
 Description:
 Големина на файла:  27.33 KB
 Видяна:  2013 пъти(s)

Дробна функция І.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Вандер
Начинаещ


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 45

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Mar 29, 2009 11:00 pm    Заглавие:

Темата е взета от някъде или ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Вандер
Начинаещ


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 45

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Mar 29, 2009 11:10 pm    Заглавие:

10-та.
f(1) = 0
Разлагаме с Хорнер и стигаме до

[tex]
(x-1) ( x^{3} + 2) = 0
[/tex]

x1 = 1, x2 = - корен 3 от 2

9та :
а = 0,-1 ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Mar 30, 2009 11:19 am    Заглавие:

Не, задачите ги избирах от разни сборници, Cool .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
quitestupid
Начинаещ


Регистриран на: 28 Oct 2008
Мнения: 45

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8

МнениеПуснато на: Mon Mar 30, 2009 5:39 pm    Заглавие:

На Вандер решението за десета достатъчно ли е.. ? Аз след като разложа един път с Хорнер, след това правя произведение на две квадратни у-та, едното от които с Д<0, другото с положителна, и от формулите за разположение на корените следва, че ако a.f(0) < 0, то x1 < 0 < x2 Question 8-ма [tex]a = 6\frac{1}{4}[/tex] но ме съмнява 90% процента, че е само това.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Вандер
Начинаещ


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 45

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Mon Mar 30, 2009 8:51 pm    Заглавие:

quitestupid написа:
На Вандер решението за десета достатъчно ли е.. ? Аз след като разложа един път с Хорнер, след това правя произведение на две квадратни у-та, едното от които с Д<0, другото с положителна, и от формулите за разположение на корените следва, че ако a.f(0) < 0, то x1 < 0 < x2 Question 8-ма [tex]a = 6\frac{1}{4}[/tex] но ме съмнява 90% процента, че е само това.


Цитат:

има точно един положителен и един отрицателен корен.

Ти ако разложиш с хорнер значи имаш поне 1 корен и от квадратното уравнение още 2 ? Или си разлагал по друг начин ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
quitestupid
Начинаещ


Регистриран на: 28 Oct 2008
Мнения: 45

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8

МнениеПуснато на: Mon Mar 30, 2009 10:03 pm    Заглавие:

Ами след като разложа с Хорнер, втората скоба я представям като [tex]a^3 + b^3[/tex] след което се получават от там двете квадратни у-та.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Tue Mar 31, 2009 2:26 pm    Заглавие:

За 8-ма a=6,25 или a<0
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
quitestupid
Начинаещ


Регистриран на: 28 Oct 2008
Мнения: 45

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8

МнениеПуснато на: Tue Mar 31, 2009 4:12 pm    Заглавие:

От къде идва а<0 ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Tue Mar 31, 2009 4:32 pm    Заглавие:

Ами след полагане на [tex]2^x=m[/tex] получаваме квадратно уравнение спрямо [tex]m[/tex], но [tex]m>0[/tex] заради полагането. Тогава условието на задачата се променя на: За кои стойности на параметъра a уравнението има 1 положителен и един отрицателен корен? Това разбирасе е като 2-ри случай. 1-вия е който и ти си разгледал за D=0.
А по последната задача, няма ли нещо пропуснато Confused. В този вид корените на уравнението се намират лесно и се вижда, че изпълняват условието.... сякаш липсва някое параметърче Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Tue Mar 31, 2009 6:13 pm    Заглавие:

naitsirk написа:

А по последната задача, няма ли нещо пропуснато Confused. В този вид корените на уравнението се намират лесно и се вижда, че изпълняват условието.... сякаш липсва някое параметърче Question


Mисля, че трябва да е [tex]x^4+x^3+2x-2=0[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Tue Mar 31, 2009 8:43 pm    Заглавие:

Нека с [tex]f(x)[/tex] бележим функцията [tex]f(x)=x^4+x^3+2x-2[/tex].
[tex]f'=4x^3+3x^2+2[/tex]
[tex]f''=12x^2+6x[/tex]. Нулираме втората производна.
[tex]x(12x+6)=0[/tex]
[tex]x_1=-\frac{1}{2 },x_2=0 [/tex] и за [tex]x\in (-\infty ;-\frac{1}{2 }), f''>0 [/tex], за [tex]x\in (\frac{1}{2 };0), f''<0 [/tex] и за [tex]x\in (0;+\infty ), f''>0 [/tex] => в интервала [tex](-\infty ;-\frac{1}{2 })[/tex] [tex]f'[/tex] расте, в интервала [tex](\frac{1}{2 };0)[/tex] [tex]f'[/tex] намалява и в интервала [tex](0;+\infty )[/tex] [tex]f'[/tex] отново расте. Забелязваме, че [tex]lim_{x->\pm \infty }f'(x)=\pm \infty[/tex]. Тъй като в първия интервал първата производна расте, то в този интервал най голямата стойност на функцията е в десния му край. Тъй като [tex]f'(-\frac{1}{2 })>0 [/tex] От теоремата на Болцано следва, че [tex]f'[/tex] има реална нула в този интервал. Във втория интервал [tex]f'[/tex] намалява и достига най-малката си стойност за [tex]x=0[/tex], но [tex]f'(0)>0[/tex]. В този интервал [tex]f'[/tex] няма реални нули. В последния интервал [tex]f'[/tex] расте => не може да се нулира. За да стесним интервала в който се намира корена на [tex]f'=0[/tex] забелязваме, че [tex]f'(-\frac{3}{2 } )<0[/tex] и [tex]f'(-1)>0[/tex] => [tex]f'=0[/tex] има единствен реален корен в интервала [tex](-\frac{3}{2 };-1 )[/tex] => за [tex]x\in (-\infty ;-\frac{3}{2 } )[/tex] [tex]f[/tex] намалява. Очевидно [tex]lim_{x->- \infty }f(x)= \infty[/tex] и [tex]f(-\frac{3}{2 } )<0[/tex] и отново от теоремата на Болцано => [tex]f(x)[/tex] има отрицателен корен. В интервала [tex](-\frac{3}{2 };-1 )[/tex] [tex]f(x)=0[/tex] няма реален корен, тъй като в двата края на интервала функцията приема отрицателни стойности, в него е нейния минимум и до него тя намалява, а след това расте. Разглеждаме интервала [tex](-1;+\infty )[/tex] в него [tex]f(x)[/tex] е само растяща и тъй като [tex]f(0)<0[/tex] и [tex]lim_{x-> \infty }f(x)= \infty[/tex] => [tex]f(x)=0[/tex] има един положителен корен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.