Подробно решение на ДУ от учебник

[hikari]

Бихте ли ми помогнали с подробно решение на една примерна задача в учебника по ВМ3.
Ето я и нея: http://i41.tinypic.com/208bqqw.jpg

Опитах се да реша няколко задачи от този тип, но все стигам до едно и също място и зацепвам тотално.

Не мога да разбера как като извършим смяната и интегрирането се получава y₁²-2x₁y₁-x₁²=c

Затова ще помоля някой ако има възможност да ми даде подробно решение на задачата.

[Реклама]

[stflyfisher]

[stflyfisher]

[tex] \frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{-x+y-3}[/tex]

Предполгам, че как се стига до тук е ясно:

[tex]\frac{dy_1}{dx_1}=\frac{x_1+y_1}{-x_1+y_1}[/tex]

За да си улесня писането [tex] x_1=X, y_1=Y[/tex] т.е. сега решаваме:

[tex] \frac{dY}{dX}=\frac{X+Y}{-X+Y}[/tex]

[tex] (-X+Y)dY=(X+Y)dX[/tex]

[tex]-(X-Y)dY=(X+Y)dX[/tex]

(A) [tex] (X+Y)dX+(X-Y)dY=0[/tex]

Това уравнение е хомогенно, защото:

[tex] P(X,Y) = X+Y[/tex],

[tex]Q(X,Y)=X-Y[/tex]

[tex] (1) P(tX,tY) =tX+tY=t(X+Y)=tP(X,Y)[/tex]

[tex](2) Q(tX,tY)=tX-tY=t(X-Y)=tQ(X,Y)[/tex]

от (1) и (2) => са хомогенни функции от една и съща ( I-ва ) степен.

С помощта на субституцията:

[tex] \frac{Y}{X}=U[/tex], където [tex]U=U(X)[/tex], полученото уравнение (А) се свежда до ДУ с отделящи се променливи.

[tex] \frac{Y}{X}=U => Y=U.X =>Y'=(U.X)'=>Y'=U'.X+U.X'=U'.X+U=>[/tex]

[tex]Y'=U'.X+U <=> \frac{dY}{dX }=X.\frac{dU}{dX }+U<=>dY=XdU+UdX[/tex]

Заместваме в (А):

[tex] (X+UX)dX+(X-UX)(XdU+UdX)=0[/tex]

[tex] XdX+XUdX+X^{2}dU+XUdX-X^{2}UdU-XU^{2}dX=0[/tex]

[tex] XdX+2XUdX-XU^{2}dX+X^{2}dU-X^{2}UdU=0[/tex]

[tex] X(-U^{2}+2U+1)dX+X^{2}(1-U)dU=0[/tex]


[tex] -X(U^{2}-2U-1)dX-X^{2}(U-1)dU=0[/tex]

[tex] X(U^{2}-2U-1)dX+X^{2}(U-1)dU=0[/tex]


което е от вида:

[tex] M(X).N(U)dX+P(X).Q(U)dU=0[/tex]

ДУ с отделящи се променливи=>

[tex] \frac{M(X)}{P(X)}dX+\frac{Q(U)}{N(U)}dU=0[/tex]

[tex] \frac{Q(U)}{N(U)}dU=- \frac{M(X)}{P(X)}dX[/tex]

и се интегрира уравнението.

[stflyfisher]

[tex] X(U^{2}-2U-1)dX+X^{2}(U-1)dU=0[/tex]

[tex] X(U^{2}-2U-1)dX=-X^{2}(U-1)dU[/tex]

[tex] -\frac{X}{X^{2} }dX=\frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU[/tex]

[tex] -\frac{dX}{X }=\frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU[/tex]

[tex] -\int \frac{dX}{X }+C_1=\int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU[/tex]

[tex]\int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU=-\int \frac{dX}{X }+C_1[/tex]

[tex]\int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU=-lnX+C_1[/tex]

[tex]\int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU=-lnX+lnC[/tex], където [tex] C_1=lnC_2[/tex]

[tex](B) \int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU=ln(\frac{C_2}{X } )[/tex]

Ще реша отделно [tex] \int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU[/tex].

[tex]\int \frac{U-1}{U^{2}-2U-1 }dU=[/tex]

Използва се субституцията:

[tex] U=t-\frac{b}{2a }=t-\frac{-2}{2 }=t+1[/tex]

[tex] U=t+1=> t=U-1[/tex]

[tex] U=t+1=> dU=d(t+1)=>dU=dt+d1=dt+0=dt=>dU=dt[/tex]

[tex] =\int \frac{t+1-1}{(t+1)^{2}-2(t+1)-1 }dt=[/tex]

[tex]= \int \frac{t}{t^{2}+2t+1-2t-2-1 }dt[/tex]

[tex] =\int \frac{t}{t^{2}-2 }dt=\frac{1}{2 }\int \frac{dt^{2}}{t^{2}-2 }= \frac{1}{2 }\int \frac{d(t^{2}-2)}{t^{2}-2 }=\frac{1}{2 }ln(t^{2}-2) +C_2 =\frac{1}{2 } ln[(U-1)^{2}-2] +C_3= \frac{1}{2 } ln(U^{2}-2U+1-2)+C_3 =\frac{1}{2 } ln(U^{2}-2U-1)+C_3[/tex]

Заместваме в [tex](B)[/tex] (без константата [tex] C_3[/tex], защо ли? )=>

[tex]\frac{1}{2 } ln[U^{2}-2U-1] = ln(\frac{C_2}{X })[/tex]

[tex] ln(U^{2}-2U-1) = 2ln(\frac{C-2}{X })[/tex]
[tex] ln(U^{2}-2U-1) = ln(\frac{C_2}{X })^{2} =>[/tex]

[tex] U^{2}-2U-1 =( \frac{C_2}{X })^{2}[/tex]

[tex] U^{2}-2U-1 = \frac{(C_2)^{2}}{X^{2} }[/tex]

[tex] U^{2}X^{2}-2UX^{2}-X{2} = C[/tex], където [tex] C=(C_2)^{2}[/tex]

Но
[tex] U=\frac{Y}{X }[/tex] (виж предни ми пост)

[tex] (\frac{Y}{X })^{2}.X^{2}-2\frac{Y}{X }X^{2}-X^{2}=C [/tex]

[tex] \frac{Y^{2}}{X^{2} }X^{2}-2\frac{Y}{X }X^{2}-X^{2}=C [/tex]

[tex] Y^{2}-2YX-X^{2}=C[/tex]

Бях положил:
[tex] x_1=X[/tex]
[tex] y_1=Y[/tex]
за да не се мъча при писането, т.е се получава:

[tex] y_1^{2}-2x_1y_1-x_1^{2}=C[/tex]

Но
[tex] x=x_1+\alpha , y=y_1+\beta =>x_1=x-\alpha , y_1=y-\beta [/tex] (виж предния пост)

За тази задача
[tex] \alpha = -2, \beta =1 =>[/tex]

[tex] x_1=x-(-2)=x+2, y_1=y-1[/tex]

Заместваме в:

[tex] y_1^{2}-2x_1y_1-x_1^{2}=C[/tex] и се получва решението на даденето

първоначално ДУ: [tex] \frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{-x+y-3}[/tex].

Отг: [tex] (y-1)^{2}-2(x+2)(y-1)-(x+2)^{2}=C[/tex]

Ами ето така се решават такива ДУ

[hikari]

Благодаря изключително много.