уравние с параметър

[mathinvalidnik]

Да се определи броя на корените на уравнението: [tex](m-2)x^{4}-2mx^{2}+2m-3=0[/tex] в зависимост от стойностите на реалния параметър [tex]m[/tex]

[Реклама]

[Rubysoul]

[tex](m-2)x^{4}-2mx^{2}+2m-3=0[/tex] така значи първо полагаме [tex]x^{2}=t>0[/tex]
[tex](m-2)t^{2}-2mt+2m-3=0[/tex]
1 случай m=2
[tex](2-2)t^{2}-2.2t+2.2-3=0[/tex]
[tex]-4t-1=0[/tex]от тук m=[tex]\frac{1}{4} [/tex] като върнем полагането получаваме , че за m=[tex]\frac{1}{4} [/tex] имаме 2 решения
2 случай [tex]m\ne 2[/tex]
[tex](m-2)t^{2}-2mt+2m-3=0[/tex]
D=[tex](2m)^{2}-4.(m-2).(2m-3)=4m^{2}-4(2m^{2}-3m-4m+6)=4m^{2}-8m^{2}+12m+16m+24=-4m^{2}+28m-24[/tex]
[tex]-4m^{2}+28m-24/:4[/tex]
[tex]-m^{2}+7m-6[/tex]
a)[tex]D=0;-m^{2}+7m-6=0[/tex]
[tex]D=49-24=25[/tex]
[tex]m_{1}=\frac{7+5}{2}=6[/tex]
[tex]m_{2}=\frac{7-5}{2}=1[/tex]
при D=0 [tex]t_{1}=t_{2}=\frac{-b}{a} [/tex]
при m=1;[tex]t_{1}=t_{2}=\frac{2m}{m-2}=\frac{2.1}{1-2}=-2<0[/tex] н.р
при m=6:[tex]t_{1}=t_{2}=\frac{2m}{m-2}=\frac{2.6}{6-2}=3>0[/tex] 2 р.
при D<0[tex]D\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty) [/tex] н.р
при D>0[tex]D\in(1;6) [/tex]
a)[tex]t_{1},t_{2}>0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}(m-2).g(0)>0\\{-b}{2a}>0\\D>0\end{tabular}[/tex] <=>[tex]\begin{tabular}{|l}(m-2).(2m-3)>0\\{2m}{2(m-2)}>0\\m\in(1;6) \end{tabular}[/tex]<=>[tex]\begin{tabular}{|l}m\in(-\infty;\frac{3}{2 })\cup(2;+\infty )\\m\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty )\\m\in(1;6) \end{tabular}[/tex]=>[tex]m\in(2;6)[/tex] 4 р.
б)[tex]t_{1}<0<t_{2}[/tex] [tex](m-2)(2m-3)<0[/tex]=>[tex]m\in(\frac{3}{2} ;2)[/tex] 2 р.
в)[tex]t_{1},t_{2}<0[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}m\in(-\infty;\frac{3}{2 })\cup(2;+\infty )\\m\in(0;2)\\m\in(1;6) \end{tabular}[/tex]=>[tex]m\in(1;\frac{3}{2}) [/tex] н.р
г)[tex]t_{1}=0[/tex][tex]g(0)=2m-3=>m=\frac{3}{2 }[/tex]
[tex]t_{1}+t_{2}=\frac{2m}{(m-2)}=\frac{\frac{3}{ 2}.2}{(\frac{3}{ 2}-2)}=\frac{3}{-\frac{1}{2 } }<0 [/tex] н.р
И сега:
4 р. [tex]m\in(2;6)[/tex]
н.р [tex]m\in(-\infty ;\frac{3}{2 }]\cup(6;+\infty) [/tex]
2 р.[tex]m\in[\frac{3}{2 };2][/tex]