Система

[ганка симеонова]

Да се намерят всички положителни решения на системата

[tex] (x+3y+4z+u)^2=27(x^2+y^2+z^2+u^2) [/tex]
[tex] x^3+y^3+z^3+u^3=93 [/tex]

[Реклама]

[Baronov]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

От Баронов имаме: [tex](x+3y+4z+u)^2 \le (1^2+3^2+4^2+1^2)(x^2+y^2+z^2+u^2)=27(x^2+y^2+z^2+u^2) [/tex], като равенството е изпълнено само, когато [tex]x_{i} \; y_{i}[/tex] са линейно зависими => [tex]x=k \; y=3p \; z=4m \; u =n[/tex] Търсим положителните решения на [tex]x^3+y^3+z^3+u^3 = k^3+27p^3+64m^3+n^3 = 93[/tex] Вижда се, че [tex]k=p=m=n=1[/tex](x=1;y=3;z=4;u=1) е решение. Сега обаче, понеже не е казано, че х,у,з,и са цели, май възниква малък проблем, защото решението може и да не е единствено

[allier]

k=p=m=n за да се достига равенство в Коши

[ганка симеонова]