Лека задачка

[ганка симеонова]

В [tex] \Delta ABC, \angle ACB=45^\circ , [/tex] a т.Н е ортоцентър. Ако [tex] AH=R[/tex], където R е радиусът на описаната около АВС окръжност, да се намери лицето на АВС.

[Реклама]

[NoThanks]

Лесно се доказва, че [tex]AH=2Rcos\alpha[/tex] и тъй като [tex]AH=R[/tex], то [tex]cos\alpha=\frac{1}{2}[/tex]. Знаейки ъглите на 3ъгълника, правим 3 синусови теореми и намираме страните. От там си харесваме някоя ф-ла за лицето и намираме.

[ганка симеонова]

NoThanks, честито за успеха от турнира за купата на Декана!

[naitsirk]

Ето друг вариант за решение:
Нека O е центъра на окръжността. ОМ е разстоянието от О до BC. От основна задача знаем, че [tex]OM=\frac{AH}{2 }=\frac{R}{2 } [/tex]. В правоъгълния триъгълник BOM [tex]OB=R, OM=\frac{R}{2 } [/tex] или [tex]\frac{OM}{OB }=\frac{1}{2 } [/tex] => [tex]\angle OBC=30^\circ [/tex]. Ясно е, че [tex]\angle AOB=2\angle ACB=90^\circ [/tex]. Също така ясно е, че [tex]AO=BO=R[/tex] => [tex]\angle ABO=45^\circ [/tex] и [tex]\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC=75^\circ [/tex].
В правоъгълния триъгълник OMC [tex]OC=R,OM=\frac{R}{2 } [/tex] и с Питагор [tex]CM=\frac{\sqrt{3}R }{2 } [/tex], но [tex]BC=2CM=\sqrt{3}R [/tex].
[tex]S=\frac{AB.BC.sin\angle ABC}{2 } [/tex]. От триъгълник ABO (правоъгълен) [tex]AB=\sqrt{2} R[/tex]. Остана да намерим [tex]sin75^\circ =?[/tex].
[tex]sin75^\circ =sin 150^\circ /2 =\sqrt{\frac{1-cos150}{2 } }=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3} }{2 } }{2 } }=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3} }{4 } }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2 } [/tex].
Остана да заместим:
[tex]S=\frac{AB.BC.sin\angle ABC}{2 }=\frac{\sqrt{2}R\sqrt{3}R }{2 }.\frac{\sqrt{2+\sqrt{3} } }{2 }=R^2.\frac{\sqrt{12+6\sqrt{3} } }{4 }=R^2.\frac{\sqrt{9+2.3\sqrt{3}+3 } }{4 }= R^2.\frac{\sqrt{(3+\sqrt{3} )^2 } }{4 }= R^2.\frac{3+\sqrt{3} }{4 } [/tex]