ABCD - равнобедрен трапец

[Donatello]

ABCD - равнобедрен трапец
k-вписана и пресича [tex]AB -> M; BC -> N ; CD -> P ; DA ->Q[/tex]. Ако [tex]\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD} }=\frac{12}{25 }[/tex], на колко е равно [tex]sin\angle BAD=?[/tex]

[Реклама]

[martosss]

Означаваме ъгъл ВАД=а.
Нека О е център на вп. окр., тогава OQ=OM=ОР=ON=R, h=2R, [tex]\angle AQO=\angle OMA=90^\circ[/tex] => около АМОQ може да сe оп. окр. => ъгъл MOQ=180-a => [tex]\fbox{\angle QOP=a}\Right QN=2Rsina[/tex] - от триъгълник QON

Нека [tex]DH\bot AB, H\in AB\Right^{\Del AHD} AD=\frac{2R}{sina}\Right AD=BC=AB+CD=\frac{4R}{sina} [/tex]
[tex]\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{MP*QN}{2}}{\frac{(AB+BC+CD+DA)*R}{2}}=\frac{2R*2Rsina}{\frac{8R}{sina}*R}=\frac{sin^2a}{2}=\frac{12}{25}\Right sina=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]

[Donatello]