Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача от примерна тема в СУ.


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 6:50 pm    Заглавие: Задача от примерна тема в СУ.

Искам да попитам как се решават тези функции с фунцкия на дирихле.Нещо не са ми много ясни.Задачата е от примерна тема за кандидат студентски изпит в СУ. Задачата е следната :

Нека y = max { 3x2 + 20x - 7 ; (x+7) / (x-1) }

a) Да се намери най-малката стойност на f(x);

b) Да се намерят стойностите на параметъра а , за които уравнението f(x) = a има единствено решение.

П.С. Казаха ми,че трябвало да се получи,че в едни интервали разглеждаме едната функция, а в други интервали - другата функция.

Моля ви помагайте.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 8:03 pm    Заглавие:

Задачата не е толкова трудна, но иска изключително много занимавка. Стига да можеш да изчертаваш графика на дробно-линейна функция, не знам какви проблеми може да срещнеш.
Тези дни ще постна решението.
П.П. От къде я взе тая задача? От някое списание ли? Защото честно казано ме съмнява на изпита да я дадат така с това max{}, без да се пояснява какво значи. Половината кандидати ще гледат като ужилени Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 8:48 pm    Заглавие:

Ами в списание Математика + имаше Примерни теми за кандидат-студентски изпит . И тази задача е 4-тата от Тема 1.Но и в други такива примерни теми срещам такъв вид задачи и само се възмущавам.Ще пробвам и аз да я реша с графики и ако я реша ще постна отговора,но ако и ти я решиш преди мен поствай , та да видим как става пустата задача.Благодаря предварително !
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 9:03 pm    Заглавие:

Ще я решим, споко.
На а) предполагам, че трябва да разгледаме в отделните интервали какво става. Защото като цяло функцията може да става безкрайно малка.
П.П. Ти във ФМИ ли ще кандидатстваш?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 9:40 pm    Заглавие:

a) Изчертаваме графиките на двете подфункции.

Нека m=3x^2+20x-7 и n=(x+7)/(x-1)
Асимптотите на n са y=1 и x=1.
Тя пресича абцисата в x=-7 и ординатата в y=-7.
m. Тя пресича абцисата в x=-7 и 1/3 и ординатата в y=-7
Пресечните точки на m и n са при x=0, x=4/3, x=-7.

m>n при x E (-∞; -7)+(0;1)+(4/3;∞)
n>m при x E (-7;0)+(1;4/3).

Разглеждаме в отделните интервали и получаваме
При x E (-∞;-7] min=0 при x=-7
При x E [-7;1] min=-7 при x=0
При x E [1;+∞) min=25 при x=4/3


Последната промяна е направена от uktc на Tue Jan 30, 2007 9:55 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 9:53 pm    Заглавие:

Ауу, подточка б) е доста, доста интересна. Ще падне яко мислене Wink.
П.П. Имаш ли някакви отговори да свериш дали са ми верни изводите в а)?
П.П. 2
Знаеш ли какво можеше да направим... можеше да решим неравенството m>n и да получим за решения x E (-∞; -7)+(0;1)+(4/3;∞). В останалите интервали, т.е. x E (-7;0)+(1;4/3) ще е n>m. Ама кой да се сети... Нищо, така е доста по-прегледно, пък и тези графики са сравнително лесни за изчертаване.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 10:22 pm    Заглавие:

А знаеш ли,че на мен ми казваха че се решава точно така както ти каза за m>=n и n>=m,но аз не го чатнах много и за това се допитах до вас,а с графики предпочитам по-малко да работя,въпреки че и с тях някои задачи се решават по - лесно.
Човек хиляди благодарности,наистина мисля,че така се решава задачата,жалко че нямам отговорите Sad . Ще мисля по подточка b) ,но сигурно утре,че стана късничко вече. Rolling Eyes
П.П.Относно въпроса ти за кандидатстването : Искам в ТУ,но ще се опитам и във ФМИ в СУ.
И днес не намерих време да видя подусловие б) , но тази задача няма да я оставя нерешена.Ще мисля по нея.
П.П.Ще поствам нови съобщения които не са свързани със задачата в едит-а тук,за да не разводнявам темата.


Последната промяна е направена от DevilFighter на Thu Feb 01, 2007 12:21 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Jan 30, 2007 10:48 pm    Заглавие:

Да, така е, но сега активно се занимавам с графики, затова първата идея, която ми хрумна беше това. Иначе по другия начин би станало много по-бързо. Но друго си е да нарисуваш графика и да го видиш с очите си защо става така, нали? Wink
Да видим б).
За кои стойности на параметъра "a", уравнението g(x)≡3x^2+20x-(7+a)=0 ще има два корена, единият от които принадлежи на (-∞; -7)+(0;1)+(4/3;∞), а другият не принадлежи на този интервал.
Поставям условието g(x)=0 да има ДВА корена, защото, ако има един корен, то той ще е x=-10/3, който не принадлежи на горепосочения интервал. Интересно... Наистина утре ще се решава това чудовище Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Feb 01, 2007 4:23 pm    Заглавие:

Тръгнал съм да я решавам по някакъв много сложен начин... Ти някакви идеи да имаш??
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Feb 01, 2007 8:47 pm    Заглавие:

Абе още не съм седнал да я решавам.Така се случи,че тези дни все не остава време за тази задача,но в събота или в неделя ще седна да я помисля и ще ти постна и мои мнения и коментари по задачата.Обещавам Exclamation
П.П.Обаче този форум е много добър.На мен ми харесва доста.Хубаво е така да обменяме идеи и да коментираме задачи.Даже сами се подготвяме така.На скоро научих за форума(случайно чрез гоогъл) и сега често ще влизам тук.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Feb 01, 2007 8:51 pm    Заглавие:

Не знаеш колко си прав! Форума е супер! Wink
Е, откъм функционалност има още какво да се направи, но пък като място за хора с общ интерес към математиката е доста добър. Very Happy
П.П. 1
Само да попитам... На кое му викаш функция на Дирихле? На max{} ли?
П.П. 2
Май реших задачата, утре ще публикувам решението.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Feb 01, 2007 11:40 pm    Заглавие:

Функция на Дирихле се казва,точно когато има такъв запис { .... }.Също така и при разглеждане на случаи при решаване на модули може да се запише по този начин като функция на дирихле.А има и някои задачки с граници (limes) които са свързани с ф-ия на дирихле.И тази прословута задача която се мъчим да решим,с която се сблъсках наскоро. Е сега отивам да погледна задачата,ама пак стана късно и има възможност пак да заспя.

Седнах и пак реших задачата.Виж какви решения аз получавам:
а)
m ≥ = n при x E (-∞; -7]+[0;1]+[4/3;∞)
m ≤ =n при x E [-7;0]+[1;4/3].

Разглеждаме в отделните интервали и получаваме
При x E (-∞;-7] min=0 при x=-7
При х Е [-7;0] min=- 121/3 при х=- 20/6
При х Е [0;1] min = -7 при х=0
При x E [1;4/3] min=25 при x=4/3
При x E [4/3;+∞] min=25 при x=4/3

б) f(x) = a (1) - да има 1вено решение
Знаем,че f(x) e определена в интервала [ minf(x) ; max f(x) ]
или по друг начин записано min f(x) ≤ = f(x) ≤ = max f(x) (2)
От (1) и (2) => min f(x) ≤ a ≤ max f(x) .
1ви случай : m ≥ = n =>
x E (-∞ ; -7] + [0;1] + [ 4/3;+∞)
min m(-7) = n(-7) = 0 = min f(x)
max m(4/3) = 25 = max f(x)
От тук => 0 ≤ = a ≤ = 25 => a E [0;25]
2ри случай : m ≤ = n =>
x E [-7;0] + [1;4/3]
min m(-20/6) = -121/3 = min f(x)
max m(4/3) = n(4/3) = max f(x)
От тук => -121/3 ≤ = а ≤ = 25 =>
а Е [-121/3;25]

Сега обединяваме решенията от 1ви и 2ри случай за а и получаваме а Е [0;25]
Незнам това дали изобщо е вярно.Казвай си мнението. Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 10:16 am    Заглавие:

DevilFighter написа:

При х Е [-7;0] min=- 121/3 при х=- 20/6

Това не е вярно. В този интервал трябваше да разгледаш n, а не m. Минимума, както се вижда от графиката, е при x=0 и е равен на -7.
Иначе честно казано се съмнявам във верността на написаното от теб. Аз съм подходил по съвсем различен начин!
Например при
x E (-∞ ; -7] + [0;1] + [ 4/3;+∞)
си писал: max m(4/3) = 25 = max f(x) , което не е вярно. От графиката се вижда, че m расте неограничено в интервалите (-∞ ; -7] и [ 4/3;+∞). Тогава не можем да говорим за никакъв максимум. Ще напиша и моето решение, но по-късно, защото е много дълго. За да видиш, че имаш грешка, сметни например при x E [-7;0] + [1;4/3] и a=1(единицата принадлежи на получения от теб интервал) виж какво става с n. Получава се (x+7)/(x-1)=1, което обаче няма корени. А ние поставяме условието за съществуване на един корен.=> единицата не става.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 5:09 pm    Заглавие:

Имаш право.Ще се радвам да видя твоя подход.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 8:59 pm    Заглавие:

Ето едно доста подробно обяснение на идеята ми. И все пак съм оставил за теб да си решаваш системите, защото трябва да пиша около 5-6 часа, за да напиша всичко от-до Wink .


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 10:45 pm    Заглавие:

Утре ще погледна разсъжденията ти.Само не ми стана много ясно как правим това да разбираме в едните интервали коя функция разглеждаме а в другите интервали другата функция.Както ти казваш,че при х Е (-∞ ;-7] + [0;1] + [4/3;+∞ =] разглеждаме първата функция 3x2 + 20x -7 , а в другите интервали разглеждаме другата функция (x+7)/(x-1).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 10:52 pm    Заглавие:

Нещо май не разбрах въпроса. Как така не ти е станало ясно? Нали f(x) е по-голямата от двете функции. В едни интервали едната функция е по-голяма, а в други интервали другата функция е по-голяма. Затова разглеждам 2 случая. Интервалите се виждат от графиката, а ти каза, че си решил и онези неравенства и пак се получават същите отговори. Какво не ти е ясно? Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Feb 02, 2007 11:01 pm    Заглавие:

Спокойно,сега като се замисля подточка а) няма да я коментираме вече.Сега остава да прегледам подточка б).Видях решението на подточка б).Струва ми се вярно.Има някои работи дето незнам дали ще са така,но да кажем,че задачата е решена.То като незнаем и отговорите какви са не можем да знаем дали решението е на 100% вярно.Обаче си мисля,че тея от СУ ще са супер луди,ако дадат такава задача на изпита.ТО направо е мор това.Задачата е мн тежка.Пък и как е "тест" сега от 10 задачи представи си колко време ще загубиш само с една такава задача.Абе аз честно да си призная ако се падне такова нещо,няма да мога да го направя цялото решение.Този вид функции са доста объркани и доста логическо и творческо мислене се изисква от човека.
П.П.Любопитен съм ти кой набор си и дали си кандидат-студент като мен.И гледам,че си доста активен във форума.Личи си,че си добър по математика.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 1:07 am    Заглавие:

Последната задача за СУ винаги, ама винаги е била нерешима. Сега като че ли е малко по-решима от преди... Истината е, че за да я решиш трябва да имаш страшно много опит, особено с анализа, защото обикновено е алгебрична... По стандартни начини и методи не стават последните задачи. Иска се голямо творчество. А това творчество изисква време и мислене, но времето е ограничено... И така, сложна е ситуацията Laughing Laughing Laughing .
Иначе и аз съм '88, и аз съм кандидат-студент. Wink
За ФМИ мисля да се пробвам, въпреки че съм песимистично настроен... ТУ-то ми е сигурно, защото имам голямо предимство за там, но аз не искам да ходя там Rolling Eyes . Дай боже на есен да сме колеги във ФМИ на СУ Wink
Форума ми се е превърнал в хоби Wink. Вместо да вися по някакви глупави безсмислени форуми, стоя тук. Престоя ми е полезен както за мен, така и за други. Wink.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 6:56 am    Заглавие:

Здравейте!
Погледнах обсъждането на задачата. Браво на uktc! Много аналитичен подход.

Искам да се намеся за първия случай на б):

Граничната стойност за а, която сменя знака на дискриминантата е а= -40 1/3.

И ми се струва, че някои от случаите за положението на корените х1 и х2 са пропуснати, но трябва да прочета внимателно, може би греша.

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 11:40 am    Заглавие:

vel и аз видях,че дискриманантата не е така,но не исках да притеснявам човека.Това е бял кахър спрямо другите елементи по решението на задачата.Просто uktc е пропуснал а> -484/12,но няма голямо значение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 11:58 am    Заглавие:

Ами така е, ще сбъркам като ме мързи да пиша и гледам все на ум да ги смятам нещата Laughing . За щастие и при a>-484/12 отговорите пак биха били същите.
Сега остава Vel да провери колко ми е вярно това за разположението на x1 и x2 и броя на корените в посочения интервал.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
glupaviq
Начинаещ


Регистриран на: 19 Jul 2006
Мнения: 21

Репутация: 10.3

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 1:08 pm    Заглавие:

Q , kajete mi kakvo e towa spisanie Matematika+ ?? , kade moga da si go pory4am ??
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sat Feb 03, 2007 2:21 pm    Заглавие:

DevilFighter написа:
Функция на Дирихле се казва,точно когато има такъв запис { .... }.Също така и при разглеждане на случаи при решаване на модули може да се запише по този начин като функция на дирихле.А има и някои задачки с граници (limes) които са свързани с ф-ия на дирихле.

Тук бъркаш.
Функция на Дирихле се нарича функцията:
f(x)={0 , x E I; 1 , x E Q}
Тук I означава множеството на ирационалните числа, а Q - множеството на рационалните числа.
Словом казано, функцията на Дирихле е дефинирана за всяка реална стойност на х, като при х рационално, функцията приема стойност 1, а при х ирационално, функцията приема стойност нула.

Например: f(п)=0, f(22/7)=1.

Двуелементното множество {0, 1} е множеството от стойности на функцията на Дирихле.
Между другото тази функция е доста особена, тъй като тя е ограничена, но е прекъсната навсякъде, и притежава безкараен брой екстремуми.
Тя е много добър илюстративен пример, показващ колко полезно свойство е непрекъснатостта на една функция, тъй като маса от обичайните действия, които се извършват с неперкъснати или частично непрекъснати функции не могат да се извършват с функцията на Дирихле. Това, обаче, вече е друга тема. Wink
Живи и здрави бъдете, ей!
Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sun Feb 04, 2007 10:53 am    Заглавие:

Прегледах решението на uktc, супер е, изчерпателно е. За Ваше успокоение получих същите интервали за а. Естествено, от x≠1, се прецизира а≠16. и xE[-7;0]U(16;∞).

Vel
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue May 01, 2007 7:54 am    Заглавие:

Малко след дъжд качулка,но намерих отговорите на тази задача :

a) НМС f(x) = f(0) = -7
б) a E [16,25) U {-7}


П.П. Обаче намерих само отговорите без решенията, но пак е нещо.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.