Множества

[Пафнутий]

Да се намерят всички непразни множества [tex]A\subset R[/tex], имащи следните свойства:
[tex]i)[/tex] [tex]A[/tex] има най-много 5 елемента
[tex]ii)[/tex] Ако [tex]x\in A[/tex], то [tex]\frac{1}{x}\in A[/tex] и [tex]1-x\in A[/tex]

[Реклама]

[garion]

Ясно е че 0 не принадлежи на А => 1 - х ≠ 0 => х ≠ 1.
Нека вклчюваме елементи в А, изведени от двете правила:
Ако [tex]x\in A => \frac{1}{x}\in A[/tex]
Ако [tex]x\in A => 1-x\in A[/tex]
Ясно е че при прилагане на кое да е от правилата два последователни пъти стигаме пак до първаначалното число, затова ги редуваме последователно:
[tex]x\in A => 1-x\in A => \frac{1}{1-x}\in A => 1-\frac{1}{1-x} = \frac{x}{1-x}\in A => 1 - \frac{1}{x}\in A=>\frac{1}{x}\in A[/tex], което прави точно 6 елемента.
Сега понеже искаме в А да има най-много 5 елемента, то трябва поне 2 от тях да са равни.
Сега остават малко сметки, за които ме мързи да ги смятам.

[Пафнутий]

Точно като моето решение, но поне да беше направил сметките. Интересното в случая е, че само 1 множество изпълнява това условие.