СУ - Математика 1 2001г. - трапец

[TheXFiles]

Даден е трапецът [tex]ABCD (AB||CD)[/tex] с основа [tex]AB=2R[/tex]. Окръжността с диаметър [tex]AB[/tex] се допира до бедрото [tex]AD[/tex] и основата [tex]DC[/tex] и пресича бедрото [tex]BC[/tex] в точка [tex]E[/tex].
а) Да се намери лицето на трапеца [tex]ABCD[/tex], ако [tex]\frac{BE}{EC }=\frac{3}{2 }[/tex]
б) Да се намери отношението [tex]\frac{BE}{EC }[/tex], при което радиусът на окръжността, описана около триъгълника [tex]DEC[/tex], е равен на [tex]R[/tex].

Tук отново б) ми е проблемна..

[Реклама]

[r2d2]

Всъщност подусловие б) е лесно ако видим, че описаната около CDE окр. минава и през А.

[martosss]

Нека О е среда на АВ, ОН е височината от О към СД(H е върху СД), Р е ц. на оп. около ЕСД окръжност и РК е височина в триъг. РСД(К е върху СД) и СТ е височина от С към АВ(Т е върху АВ). Извинявам се, че няма чертеж, но не успявам да го кача, защото има някакъв проблем с мястото. Като се оправи и чертеж ще постна

означаваме СЕ=х, ВЕ=у, откъдето от свойството на допирателната и секущите имаме [tex]CE*CB=CH^2\Right CH=\sqrt{x(x+y)}[/tex]
OTCH-правоъгълник => OT=CH.
[tex]TB=OB-OT=R-\sqrt{x(x+y)}[/tex]
[tex]\Del TBC\Right^{Pitagor} x(x+y)+2R\sqrt{x(x+y)}-2R^2=0\Right \sqrt{x(x+y)}=CH=OT=\frac{-2R+2R\sqrt 3}{2}=R(\sqrt 3-1)\Right\\ CD=DH+HC=R+R(\sqrt 3-1)=R\sqrt 3[/tex]
[tex]DK=\frac{CD}{2}=\frac{R\sqrt 3}{2}, [/tex]
[tex]DP=R\Right\: cos\angle PDK =\frac{R\frac{\sqrt 3}{2}}{R}=\frac{\sqrt 3}{2}\Right \angle PDK=30^\circ\Right \angle ADP=60^\circ, AD=DP=R\Right \Del ADP-\cyr{ravnostranen}[/tex]
Оттук АР=R и А е също върху окръжността Леле... колко просто било, а го решвам 2 дена... ужас

П.П. Ето и чертеж

[r2d2]

Чертежът си е чертеж, ама...
Около АЕCD Може да се опише.

И имаме PA=AO=OE=PE или РАОЕ е успоредник!

[martosss]

ем то е достатъчно да се докаже РА=R, оттам вече имаме веднага АОЕР - ромб(4 равни страни), след което с ъглите се доказва еднаквостта на триъгълници ОВЕ и РЕС откъдето СЕ=ЕВ

[r2d2]

Марто, щом РЕ усп. на АВ, от това,че Р е на симетралата на АД следва, че е е средата на ВС.

[TheXFiles]

Вчера си взех книгата с кандидатстудентски изпити на Чакърян и Сидеров и решението предложено там е доста прилично. Ето го и него:
Нека [tex]\angle ABE=\alpha=>\angle DCE=180-\alpha =>sin\angle ABE=sin\angle DCE=sin\alpha [/tex]
Oт синусова теорема за [tex]\Delta ABE: AE=2Rsin\alpha[/tex]
Oт синусова теорема за [tex]\Delta DEC: DE=2Rsin\alpha[/tex], за да е радиуса на описаната около него окръжност равен на [tex]R=>AE=DE => E[/tex] лежи на симетралата на [tex]AD[/tex], т.е. върху средната отсечка на трапеца. Следователно [tex]E[/tex] е среда на [tex]BC => \frac{BE}{EC }=1 [/tex]