JBMO 2000

[Пафнутий]

Нека [tex]x,y \in\mathbb{Z}[/tex]са такива, че:
[tex]x^3+y^3 + (x+y)^3 +30xy=2000[/tex]
Да се докаже, че [tex]x+y=10[/tex].

[Реклама]

[dim]

[tex]x^3+y^3 + (x+y)^3 +30xy=2000[/tex] <=>[tex](x+y)(2(x+y)^2-3xy)+30xy=2000[/tex]. Сега полагаме [tex]x+y=a[/tex] и [tex]xy=b[/tex]. Имаме [tex]2a^3-3ab+3b-2000=0[/tex]<=>[tex]2(a^3-10^3)-3b(a-10)=0[/tex]<=>[tex](a-10)(2(a^2+10a+100)-3b)=0[/tex]. Сега или [tex]a=10[/tex] или [tex]2(a^2+10a+100)=3b[/tex]. Като се разгледа квадватният тричлен в ляво се вижда, че [tex]2(a^2+10a+100)=3b\ge 150[/tex].Значи [tex]b\ge 50[/tex] и [tex]x,y[/tex] са с еднакви знаци. Ако се върнем към субституцията последното уравнение е еквивалентно на: [tex]2((x+y)^2+10(x+y)+100)=3xy[/tex]<=>[tex]2x^2+2y^2+4xy+20(x+y)+200=3xy[/tex]<=>[tex]x^2+y^2+(x+10)^2+(y+10)^2+xy=0[/tex]. Но в ляво изразът е винаги положителен, защото [tex]b=xy \ge 50>0[/tex]=> остава като единствено решение [tex]a=x+y=10[/tex].

Ако е верен тoзи резултат това трябва да означава, че е верен за всички [tex]x,y\in R[/tex], а в условието е дадено само, че са цели?!?

[Пафнутий]

Прав си!!! А в условието е дадено, че са цели за такива като мен, които ще го ползват Моето решение е значително по-грозно от това