Виртуална олимпиада - решения

[ins-]

Няма ли да бъдат пуснати решенията на задачите от виртуалната олимпиада?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

12 клас

Задача 2. От всички правилни четириъгълни пирамиди, вписани в сфера с радиус [tex]R[/tex], да се намери височината на тази, която има най-голям обем.

Решение. Нека дадената пирамида да е [tex]ABCDQ[/tex] с основа многоъгълника [tex]ABCD[/tex] и връх [tex]Q[/tex]. Тя е вписана в сфера с радиус [tex]R[/tex] и трябва да намерим височината на [tex]ABCDQ[/tex], за която нейният обем е максимален. Тъй като е вписана в сфера, то ще е изпълнено
[tex]R=\frac{b^2}{2h}[/tex],
където [tex]b[/tex] е околният ръб, а [tex]h[/tex] е дължината на височината. Оттук изразяваме ръба: [tex]b^2=2Rh[/tex]. Понеже пирамидата е правилна, нейният връх [tex]Q[/tex] ще се проектира в центъра на описаната около основата окръжност. Нека това е точката [tex]O[/tex], тоест [tex]Q\to O[/tex]. В такъв случай [tex]AO^2+QO^2=AQ^2 \Leftrightarrow AO^2+h^2=2Rh[/tex], където [tex]AQ^2=b^2=2Rh[/tex]. Но [tex]AC\bot BD[/tex] (диагонали в квадрат) и [tex]\Rightarrow AO^2+BO^2=AB^2 \Leftrightarrow 2AO^2=AB^2 \Leftrightarrow 2(2Rh-h^2)=AB^2 \Leftrightarrow \fbox {AB^2=4Rh-2h^2}[/tex].
Сега обемът на пирамидата ще е [tex]V_{ABCDQ}=\frac{1}{3}AB^2.QO \Leftrightarrow V_{ABCDQ}=\frac{(4Rh-2h^2)h}{3} \Leftrightarrow \fbox {V_{ABCDQ}=\frac{4Rh^2-2h^3}{3}}[/tex]. Тази дроб ще приема максимална стойност, когато е максимален нейният числител. Затова разглеждаме този числител като функция на [tex]h[/tex]. Нека [tex]g(h)=4Rh^2-2h^3[/tex]. Нейната производна [tex]g'(h)[/tex] е [tex]g'(h)=(4Rh^2)'-(2h^3)' \Leftrightarrow \fbox {g'(h)=8Rh-6h^2}[/tex]. Решаваме уравнението [tex]g'(h)=0[/tex] и следователно [tex]8Rh-6h^2=0 \Leftrightarrow 4R-3h=0 \Leftrightarrow h=\frac{4}{3}R[/tex]. Разделихме на [tex]h[/tex] и получихме еквивалентното уравнение, защото винаги е изпълнено [tex]h\neq 0[/tex]. Като заместим тази стойност във втората производна, определяме непосредствено, че [tex]g''(\frac{4}{3}R)<0 \Rightarrow g(\frac{4}{3}R)=g_{max}[/tex].
Тогава обемът на пирамида, вписана в сфера с радиус [tex]R[/tex], е максимален, когато дължината на нейната височина е [tex]h=\frac{4}{3}R[/tex].

Задача 4. Да се докаже, че за всяко [tex]x\in [0; \frac{\pi}{2}][/tex] е изпълнено [tex]sin x\ge \frac{2}{\pi}x[/tex].

Доказателство. Понеже интервалът, в който е дефинирана променливата, е краен и затворен, то да заместим крайните интервални стойности в неравенството, което трябва да се докаже. Получаваме: [tex]x=0 \Rightarrow sin0\ge \frac{2.0}{\pi} \Leftrightarrow 0\ge 0[/tex], което е вярно, и [tex]x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow sin{\frac{\pi}{2}}\ge \frac{\cancel 2}{\cancel {\pi}}.\frac{\cancel {\pi}}{\cancel 2} \Leftrightarrow 1\ge 1[/tex], което на свой ред също е вярно. Получихме, че в краищата на интервала неравенството е вярно. В такъв случай трябва да покажем, че то е вярно за всяка стойност на [tex]x[/tex] от интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex]. Разделяме двете страни на неравенството с [tex]x[/tex] (то е винаги различно от нула, защото ние вече проверихме верността при [tex]x=0[/tex] и няма да използваме тази стойност на променливата):
[tex]sin x\ge \frac{2}{\pi}x|:x \Rightarrow \frac{sin x}{x}\ge \frac{2}{\pi}[/tex].
И сега, понеже [tex]x\neq 0[/tex] и сме проверили, че неравенството става равенство в двата края на интервала [tex][0; \frac{\pi}{2}][/tex], то можем да запишем [tex]\frac{sin x}{x}>\frac{2}{\pi}[/tex]. Да въведем [tex]g(x)=\frac{sin x}{x}[/tex]. Ще изследваме тази функция в [tex](0; \frac{\pi}{2})[/tex] и ще покажем, че там тя е намаляваща. За целта пресмятаме първата производна:
[tex]g'(x)=\frac{(sin x)'x-sin x. x'}{x^2} \Leftrightarrow g'(x)=\frac{cos x.x-sin x}{x^2}[/tex].
Заради положителността на [tex]x^2[/tex] определянето на това, в кои интервали производната е положителна и в кои е отрицателна, се свежда до решаването на [tex]cos x.x-sin x>0[/tex] или [tex]cos x.x-sin x<0[/tex]. Но имаме ограничение: [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex]. Разглеждаме числителя на производната като съставен от множители. Можем да изнесем извън скоби [tex]cos x[/tex] и ще достигнем до [tex]cos x(x-\frac{sin x}{cos x})=cos x(x-\tan x)[/tex]. В [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] функцията [tex]cos x[/tex] приема само положителни стойности. По-трудно е определянето на знака на множителя [tex]x-\tan x[/tex]. Нека да запишем [tex]t(x)=x-\tan x[/tex]. Производната на тази нова функция е [tex]t'(x)=x'-(\tan x)'=1-\frac{1}{cos^2 x}[/tex]. Понеже при [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex] числото [tex]cos^2 x[/tex] ще е правилна дроб, то [tex]\frac{1}{cos^2 x}[/tex] ще бъде неправилна и определянето на знака на производната [tex]t'(x)[/tex] се свежда до определяне на знака на разлика. Тази разлика е съставена от числото [tex]1[/tex] и неправилна дроб, тоест от по-малко число вадим по-голямо и [tex]\Rightarrow 1-\frac{1}{cos^2 x}<0 \Rightarrow t(x)\searrow[/tex]. Оттук окончателно заключваме, че изразът [tex]cos x.x-sin x<0 \Leftrightarrow g'(x)<0 \Rightarrow g(x) \searrow[/tex] при [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex] (произведението на две числа с различни знаци е отрицателно).
И така, стойностите на [tex]g(x)[/tex] в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] стават все по-малки с приближаването до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Тогава [tex]g(\frac{\pi}{2})<g(x); g(\frac{\pi}{2})=\frac{sin{\frac{\pi}{2}}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}[/tex], или [tex]\frac{2}{\pi}<\frac{sin x}{x} \Leftrightarrow \fbox {\frac{sin x}{x}>\frac{2}{\pi}}[/tex].