УАСГ - КСК 2009

[arc]

Понеже ще кандидатствам там и нямам отговорите на задачите, които намерих в интернет, ще бъда много благодарен, ако някой ги има, да ми ги даде, или ако някой решава същите теми, да си ги сравним. Не ходя на курсове/уроци по математика и няма кого да попитам. За това се обърнах към този форум. Надявам се, ще ми помогнете!
Ще постна и първите отговори, до които стигнах:

Симулативен изпит - 10 Юни 2007г. (достъпен в интернет)

1 зад.
а) [tex]x_{1}=\frac{\pi }{4 } (3+4k\pi)[/tex] ; [tex]x_{2}=-\frac{\pi }{12 } (5-12k)[/tex] ; [tex]x_{3}=-\frac{\pi }{12 } (1-12k)[/tex]

б) [tex]m>0[/tex]
2 зад.
в) [tex]\gamma = 90^\circ, \alpha = \beta = 45^\circ \cup \alpha = \beta = \gamma =60^\circ[/tex]

[Реклама]

[Is it black or white?]

Задача 1. Дадено е уравнението: [tex] m(sinx+cosx)^{2}-cos4x-1=0[/tex], където [tex]m[/tex] е реален параметър.
a) Да се реши уравнението за [tex]m=3[/tex]
Решение:
[tex]3(sinx+cosx)^{2}-cos4x-1=0[/tex]
[tex]3(sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x)-(1-2sin^{2}2x)-1=0[/tex]
[tex]3+3sin2x-1+2sin^{2}2x-1=0[/tex]
[tex]2sin^{2}2x+3sin2x+1=0[/tex], Нека [tex]sin2x=t[/tex], [tex]t\in [-1;1][/tex]
[tex]2t^{2}+3t+1=0[/tex]
[tex]t_{1}=-1[/tex] и [tex]t_{2}=-\frac{1}{2} [/tex]
[tex]sin2x=-1[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi }{4 } +k\pi [/tex]
[tex]sin2x=-\frac{1}{2} [/tex]
[tex]x=\frac{7\pi }{12}+k\pi [/tex] и [tex]x=\frac{11\pi }{12}+k\pi [/tex]

[arc]

[tex]t_{1}[/tex] и [tex]t_{2}[/tex] са ми така, а после:
[tex]sinx=-1[/tex] (50стр. от Справочника по Математика на Анубис) =>[tex] 2x = \frac{3\pi }{2 } +2k\pi => x = \frac{\pi }{4 } (3+4k)[/tex]
Как получаваш твоя отговор?

[Is it black or white?]

б) За кой стойности на m уравнението има поне едно решение [tex]x\in (0;\frac{\pi }{2 }) [/tex] такова, че [tex] tgx\ne 1[/tex]
[tex] tgx\ne 1[/tex] => [tex]x\ne \frac{\pi }{4} +k\pi [/tex]
[tex]m(1+sin2x)-1+2sin^{2}2x-1=0[/tex]
[tex]2sin^{2}2x+msin2x+m-2=0[/tex], Нека [tex]sin2x=t[/tex], [tex]t\in [0;1)[/tex] <--- получава се от [tex]x\in (0;\frac{\pi }{2 }) [/tex], при 1-цата е отворен заради [tex]x\ne \frac{\pi }{4} +k\pi [/tex][tex]
[tex]2t^{2}+mt+m-2=0[/tex]
Искаш поне един от корените на уравнението да е в интервала от [0;1) <--- разположение на корените:

[tex]f(1).f(0)\le 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{tabular}{|||}D\ge 0\\af(0)\ge 0\\a.f(1)>0\\-1\le -\frac{b}{2a}<0 \end{tabular}[/tex]
От [tex]f(1).f(0)\le 0[/tex] имаме [tex] m\in [0;2][/tex]
[tex]D=m^{2}-8m+16=(m-4)^{2} [/tex][tex]\ge0[/tex] за всяко m
От второто имаме [tex]m\in [2;4][/tex]
От двете обединено:
[tex]m\in [0;4][/tex]
Това получавам, някой ако намери грешка да ме поправя

[Is it black or white?]

[arc]

Видях си грешката, а защо при 0 е затворен интервалът?

[Is it black or white?]

Еми според мене, нулата е позволена стойност, а пък единицата не е, защото при едно, [tex]sin2x=1[/tex]=>[tex]x=\frac{\pi }{4}+k\pi[/tex], а от [tex] tgx=1[/tex] имаме [tex]x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi [/tex]
За да не те объркам нещо, по-добре някой друг от форума да види задачата и ако има забележки да каже, за да не ти говоря грешни неща, според мене това е като цяло начина, но дано някъде не изпускам нещо