Екстремална стереометрична - пирамида, вписана в сфера

[quitestupid]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека дадената пирамида да е [tex]ABCDQ[/tex] с основа многоъгълника [tex]ABCD[/tex] и връх [tex]Q[/tex]. Тя е вписана в сфера с радиус [tex]R[/tex] и трябва да намерим височината на [tex]ABCDQ[/tex], за която нейният обем е максимален. Тъй като е вписана в сфера, то ще е изпълнено
[tex]R=\frac{b^2}{2h}[/tex],
където [tex]b[/tex] е околният ръб, а [tex]h[/tex] е дължината на височината. Оттук изразяваме ръба: [tex]b^2=2Rh[/tex]. Понеже пирамидата е правилна, нейният връх [tex]Q[/tex] ще се проектира в центъра на описаната около основата окръжност. Нека това е точката [tex]O[/tex], тоест [tex]Q\to O[/tex]. В такъв случай [tex]AO^2+QO^2=AQ^2 \Leftrightarrow AO^2+h^2=2Rh[/tex], където [tex]AQ^2=b^2=2Rh[/tex]. Но [tex]AC\bot BD[/tex] (диагонали в квадрат) и [tex]\Rightarrow AO^2+BO^2=AB^2 \Leftrightarrow 2AO^2=AB^2 \Leftrightarrow 2(2Rh-h^2)=AB^2 \Leftrightarrow \fbox {AB^2=4Rh-2h^2}[/tex].
Сега обемът на пирамидата ще е [tex]V_{ABCDQ}=\frac{1}{3}AB^2.QO \Leftrightarrow V_{ABCDQ}=\frac{(4Rh-2h^2)h}{3} \Leftrightarrow \fbox {V_{ABCDQ}=\frac{4Rh^2-2h^3}{3}}[/tex]. Тази дроб ще приема максимална стойност, когато е максимален нейният числител. Затова разглеждаме този числител като функция на [tex]h[/tex]. Нека [tex]g(h)=4Rh^2-2h^3[/tex]. Нейната производна [tex]g'(h)[/tex] е [tex]g'(h)=(4Rh^2)'-(2h^3)' \Leftrightarrow \fbox {g'(h)=8Rh-6h^2}[/tex]. Решаваме уравнението [tex]g'(h)=0[/tex] и следователно [tex]8Rh-6h^2=0 \Leftrightarrow 4R-3h=0 \Leftrightarrow h=\frac{4}{3}R[/tex]. Разделихме на [tex]h[/tex] и получихме еквивалентното уравнение, защото винаги е изпълнено [tex]h\neq 0[/tex]. Като заместим тази стойност във втората производна, определяме непосредствено, че [tex]g''(\frac{4}{3}R)<0 \Rightarrow g(\frac{4}{3}R)=g_{max}[/tex].
Тогава обемът на пирамида, вписана в сфера с радиус [tex]R[/tex], е максимален, когато дължината на нейната височина е [tex]h=\frac{4}{3}R[/tex].

[quitestupid]

"Ти си машина, човече! " Мерси, много!