Турнир за купата на Декана - 2ри кръг - задачите

[NoThanks]

Ето и задачите от днес:

[Реклама]

[NoThanks]

http://fmi.uni-sofia.bg/algebra/bojilov/turnir.html

[Who_cares123456]

решение на 3та с алгебра:

Полагаме [tex]y_i=x_i+1\ge 0[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum y_i=\frac{4n}{3}[/tex]
[tex]\sum y_i^3=\sum 3y_i^2-3n[/tex]

Тогава [tex]4n\sum y_i^2-4n^2=\sum y_i\sum y_i^3\geq \left(\sum y_i^2\right)^2\Leftrightarrow[/tex] [tex] \left(\sum y_i^2-2n\right)^2\le 0[/tex], тоест [tex]\sum y_i^2=2n[/tex]. Като от факта, че имаме равенство в неравенството на Коши, следва , че трябва даден брой от числата да са равни, а другите да са нули . Тогава имаме [tex]y_1=y_2=...=y_k=a[/tex] и [tex]y_{k+1}=...=y_n=0[/tex]. [tex]\Rightarrow a=\frac{4n}{3k}\cup a^2=\frac{2n}{k}\cup a^3=\frac{3n}{k}[/tex] [tex]\Rightarrow 8n=9k[/tex] [tex]\left(a=\frac{3}{2}\right)[/tex] и тука вече е лесно

[estoyanovvd]

Отвори горния линк с решенията и ще видиш, че не си прав!