Трудно показателно

[r2d2]

Решете:

[tex]3^x(4^x+6^x+9^x)=25^x+2\cdot 16^x[/tex]

[Реклама]

[mkmarinov]

0 и 1 са единствени решения.
[tex]3^x(4^x+6^x+9^x)=25^x+2.16^x[/tex]
[tex]12^x+18^x+27^x-25^x=2.16^x[/tex]
[tex]\frac{12^x+18^x+27^x-25^x}{16^x}=2[/tex]
Това вляво го означаваме с [tex]f(x)[/tex], след изследване първата производна има само 1 корен => [tex]f(x)=c[/tex] има най-много 2 решения.

[r2d2]

Какви са тези глупости, производна на показателна ф-я не се учи в у-ще, а и да да се учи, хаиде покажи как става!

[mkmarinov]

С използване на свойства на логаритмите (учат се в десети клас), разкриване на скоби и групиране (седми клас), правило за диференциране на частно на функции (12ти клас?) и свръхтайните знания какво става с показателна функция след диференциация:
[tex]f'(x)=\frac{ln\frac{3}{4}.12^x+ln\frac{9}{8}.18^x+ln\frac{27}{16}.27^x+ln\frac{16}{25}.25^x}{16^x}[/tex]
Защо е плюс - ln(25/16)=-ln(16/25).
[tex]f'(0)<0; f'(1)>0[/tex] => има корен.
[tex]f''(x)=\frac{ln^2\frac{3}{4}.12^x+ln^2\frac{9}{8}.18^x+ln^2\frac{27}{16}.27^x-ln^2\frac{16}{25}.25^x}{16^x} > \frac{ln^2\frac{3}{4}.12^x+ln^2\frac{9}{8}.18^x+ln^2\frac{27}{16}.27^x-ln^2\frac{16}{25}.27^x}{16^x} = \frac{ln^2\frac{3}{4}.12^x+ln^2\frac{9}{8}.18^x+(ln^2\frac{27}{16}-ln^2\frac{25}{16}).27^x}{16^x} > 0[/tex] => f' е растяща и има само един корен.
Показах ти - доволен?

[ганка симеонова]

[r2d2]

Задачата може да се реши без производна на показателна функция! И това е целта!

[ins-]

Аз имам идея ... всички числа са кратни на 2 и 3. Ако положим 2^x и 3^x - можем да получим полином, който евентуално да разложим и така да получим желаните решения.
Не твърдя, че по този начин можем да решим задачата, но това е първото нещо, което ми идва като идея.

[Donatello]

Непосредствено се забелязва, че [tex]x_1=0[/tex] и [tex]x_2=1[/tex] са отговори. Трябва да докажем, че те са единствените отговори. Проверяваме графично [tex]\frac{12^x+18^x+27^x-25^x}{16^x}=2[/tex]

[r2d2]

[estoyanovvd]

[r2d2]

[tex]3^x(4^x+6^x+9^x)=25^x+2\cdot 16^x.[/tex] Вижда се, че [tex]x=0\;x=1[/tex] са решения.Преписваме уравнението във вида:

[tex]27^x-25^x+18^x-16^x=16^x-12^x=16^x-14^x+14^x-12^x[/tex].

Да допуснем, че някое x>1 е решение, означаваме това х с [tex]\mu[/tex].

Разглеждаме ф-ята [tex]f(t)=(t+2)^\mu-t^\mu[/tex]. Проверете, че[tex] f'(t)>0[/tex]. Това значи, че f(x) е растяща и следователно:

[tex]27^\mu-25^\mu=f(25)>16^\mu-14^m=f(14)\; 18^\mu-16^\mu=f(16)>14^\mu-12^\mu=f(12)[/tex], което показва че равенство е невъзможно!

Аналогично се разглеждат случаите 0<\mu<1 там функцията е намаляваща!
И случая [tex]\mu<0 [/tex] пак - растяща!