Уравнение

[Donatello]

[tex]4^{x } +7^{x } = 11^{x }[/tex]

Как може да докажем, че само единицата е решение на уравнението ?

[Реклама]

[ганка симеонова]

Раздели двете страни на [tex] 11^x=>(\frac{4}{ 11} )^x+(\frac{7}{ 11} )^x=1 [/tex]
Ясно е, че х=1 е решение на задачата. Докажи, че лявата страна е намаляваща ф-я; дясната е константа=> двете имат единствена пресечна точка в х=1.

[Spider Iovkov]

[tex]4^x+7^x=11^x |:11^x, 11^x>0 \Rightarrow (\frac{4}{11})^x+(\frac{7}{11})^x=1[/tex]
Функциите [tex](\frac{4}{11})^x[/tex] и [tex](\frac{7}{11})^x[/tex] са намаляващи и тогава техният сбор ще е също намаляваща функция. Уравнение от вида [tex]g(x)= {const}[/tex], където функцията [tex]g(x)[/tex] е намаляваща, може да има само едно решение. В такъв случай непосредствено се проверява, че [tex]x=1[/tex].