Показателно уравнение с параметър

[mkmarinov]

За кои стойности на реалният параметър [tex]a[/tex] уравнението
[tex]2^{4x}+a.2^{3x}-5.2^{2x}+a.2^x+1=0[/tex]
има само един корен.

[Реклама]

[_sssss]

a=3/2 ?

[mathinvalidnik]

при а=[tex] \frac{3}{2 }[/tex] .... има само едно решение и то е x=0

[ганка симеонова]

Пуснете решение

[mkmarinov]

Да!
А решенията?

[ганка симеонова]

Полагаме [tex]2^x=u>0 [/tex]. Тогава относно u, уравнението става реципрочно и след деление на [tex]u^2[/tex] получаваме
[tex]u^2+\frac{1}{ u^2} +a(u+\frac{1}{ u})-5=0 [/tex] Полагаме [tex]u+\frac{1}{u } =t>0=>t^2+at-7=0 [/tex]
Всяко положително число събрано с неговото реципрочно дава резултат по- голям или равен от 2 ( като равенство се достига само, когато числото е 1)
Тъй като [tex]t_1t_2=-7<0=>[/tex] уравнението има корени с различни знаци. Тогава трябва положителния корен, например [tex]t_2=2=>4+2a-7=0=>a=\frac{3}{2 } [/tex]
Тогава [tex] u+\frac{1}{u } =2=>u=1=>2^x=1=>x=0 [/tex]- единствен корен.

[ганка симеонова]

mkmarinov, пуснах решение, защото помислих, че не ти е ясна задачата. Но като ти гледам постовете, съмнявам се, че е така

[mkmarinov]

Чаках това:
Ако [tex]x_0[/tex] е решение, то и [tex]-x_0[/tex] също е решение. За да има само едно решение => [tex]x=-x[/tex], т.е. [tex]x=0[/tex].

[ганка симеонова]

Е, това е ясно, заради реципрочността

[mathinvalidnik]