задача

[Infernum]

Вероятността един кандидат-студент да реши трудна задача на изпит е 0,6. Да се определи вероятността от 1000 кандидат-студента по-малко от половината да решат трудната задача.

[Реклама]

[M_Velinova]

V<0,3
Вярно ли е?

[Volen Siderov]

има ли точно решение на задачата,което да не се решава с помоща но комп.?Получих много сложен и дълъг израз за търсената вероятност и не мога да получа от него лесно търсената вероятност.Единствено мога да твърдя на базата на него,че търсената вероятност здравата клони към нула>

[Infernum]

По условие вероятността един кандидат-студент да реши задачата е 0,6.
Има две възможности.
Случайно избран студент да е решил задачата или да не я е решил.
Така от 1000 кандидат-студента, вероятността по малко от 500 да са решили задачата е равна на сумата от вероятностите на всяко от събитията:
0 кандидат-студента от 1000 са решили задачата
1 кандидат-студент от 1000 е решил задачата
2 кандидат-студента от 1000 са решили задачата
.........
499 кандидат-студентa от 1000 са решили задачата

Вероятността на всяко от тези събития по отделно е:
n!/[k!(n-k)!](0,6)^k(0,4)^n-k
k=0,...,499
Обаче да сметнете сумата на тези вероятности по k от 0 до 499, води до непосилни сметки.
Затова:
Тъй като броят на опитите n е голям, удобно е случайната величина X, означаваща броя на кандидат-студентите решили задачата, да се приближи с нормално разпределена случайна величина Z с математическо очакване EZ=0 и дисперсия DZ=1.
За целта, имайки предвид че Х е биномно разпределена и че
EX=1000*0,6
DX=1000*0,6*0,4
случайната величина Z=(X-EX)/√DX E N(0,1).
Тъй като Х е дискретна а Z непрекъсната следва, че
P(0 < X < 499) = ∑_k=0..499n!/[k!(n-k)!](0,6)^k(0,4)^n-k ≈ P((0-EX)/√DX < Z < (500-EX)/√DX) =
= Ф(-6.454972243) - Ф(-38.72983346) ≈ 0
Където Ф(x)=1/√(2п)INT(exp(-t²/2), t=0..x)