Неравенство

[ferry2]

Докажете неравенството:

[tex]\sin x\ge \frac{2}{\pi}.x, x\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right][/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Да се докаже, че за всяко [tex]x\in [0; \frac{\pi}{2}][/tex] е изпълнено [tex]sin x\ge \frac{2}{\pi}x[/tex].

Доказателство. Понеже интервалът, в който е дефинирана променливата, е краен и затворен, то да заместим крайните интервални стойности в неравенството, което трябва да се докаже. Получаваме: [tex]x=0 \Rightarrow sin0\ge \frac{2.0}{\pi} \Leftrightarrow 0\ge 0[/tex], което е вярно, и [tex]x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow sin{\frac{\pi}{2}}\ge \frac{\cancel 2}{\cancel {\pi}}.\frac{\cancel {\pi}}{\cancel 2} \Leftrightarrow 1\ge 1[/tex], което на свой ред също е вярно. Получихме, че в краищата на интервала неравенството е вярно. В такъв случай трябва да покажем, че то е вярно за всяка стойност на [tex]x[/tex] от интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex]. Разделяме двете страни на неравенството с [tex]x[/tex] (то е винаги различно от нула, защото ние вече проверихме верността при [tex]x=0[/tex] и няма да използваме тази стойност на променливата):
[tex]sin x\ge \frac{2}{\pi}x|:x \Rightarrow \frac{sin x}{x}\ge \frac{2}{\pi}[/tex].
И сега, понеже [tex]x\neq 0[/tex] и сме проверили, че неравенството става равенство в двата края на интервала [tex][0; \frac{\pi}{2}][/tex], то можем да запишем [tex]\frac{sin x}{x}>\frac{2}{\pi}[/tex]. Да въведем [tex]g(x)=\frac{sin x}{x}[/tex]. Ще изследваме тази функция в [tex](0; \frac{\pi}{2})[/tex] и ще покажем, че там тя е намаляваща. За целта пресмятаме първата производна:
[tex]g'(x)=\frac{(sin x)'x-sin x. x'}{x^2} \Leftrightarrow g'(x)=\frac{cos x.x-sin x}{x^2}[/tex].
Заради положителността на [tex]x^2[/tex] определянето на това, в кои интервали производната е положителна и в кои е отрицателна, се свежда до решаването на [tex]cos x.x-sin x>0[/tex] или [tex]cos x.x-sin x<0[/tex]. Но имаме ограничение: [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex]. Разглеждаме числителя на производната като съставен от множители. Можем да изнесем извън скоби [tex]cos x[/tex] и ще достигнем до [tex]cos x(x-\frac{sin x}{cos x})=cos x(x-\tan x)[/tex]. В [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] функцията [tex]cos x[/tex] приема само положителни стойности. По-трудно е определянето на знака на множителя [tex]x-\tan x[/tex]. Нека да запишем [tex]t(x)=x-\tan x[/tex]. Производната на тази нова функция е [tex]t'(x)=x'-(\tan x)'=1-\frac{1}{cos^2 x}[/tex]. Понеже при [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex] числото [tex]cos^2 x[/tex] ще е правилна дроб, то [tex]\frac{1}{cos^2 x}[/tex] ще бъде неправилна и определянето на знака на производната [tex]t'(x)[/tex] се свежда до определяне на знака на разлика. Тази разлика е съставена от числото [tex]1[/tex] и неправилна дроб, тоест от по-малко число вадим по-голямо и [tex]\Rightarrow 1-\frac{1}{cos^2 x}<0 \Rightarrow t(x)\searrow[/tex]. Оттук окончателно заключваме, че изразът [tex]cos x.x-sin x<0 \Leftrightarrow g'(x)<0 \Rightarrow g(x) \searrow[/tex] при [tex]x\in (0;\frac{\pi}{2})[/tex] (произведението на две числа с различни знаци е отрицателно).
И така, стойностите на [tex]g(x)[/tex] в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex] стават все по-малки с приближаването до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]. Тогава [tex]g(\frac{\pi}{2})<g(x); g(\frac{\pi}{2})=\frac{sin{\frac{\pi}{2}}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}[/tex], или [tex]\frac{2}{\pi}<\frac{sin x}{x} \Leftrightarrow \fbox {\frac{sin x}{x}>\frac{2}{\pi}}[/tex].

[estoyanovvd]

[Spider Iovkov]

Трябвало е да напиша просто, че косинусът винаги е правилна дроб, а аз съм го усложнил малко, .

[r2d2]

Нека в f(x) има отрицателна втора проиводна в интервала (а;б). И нека [tex]l(x)[/tex] е линейна функция, за която [tex]l(a)=g(a);\ l(b)=g(b)[/tex]. Ще док., че за[tex] x \in (a;b) \; f(x)>l(x).[/tex]

Разгл. [tex]g(x)=f(x)-l(x)[/tex]. Имаме [tex]g''(x)=f''(x)<0, x \in (a;b)[/tex] или[tex] g'(x)[/tex] е намаляваща.

[tex]g(a)=g(b)=0[/tex] От теоремата на Рол, знаем че има c такова, че [tex]a<c0 \;x \in (a,c)[/tex] и [tex]g'(x)<0 \;x \in (c,b)[/tex].

Oт това е ясно, че най-малките стойности на[tex] g(x) [/tex]са в x=a и x=b, т.е. [tex]g(x)=f(x)-l(x)>0[/tex] за [tex]x \in (a,b)[/tex].