Равни суми

[estoyanovvd]

М е вътрешна точка за равностранния триъгълник АВС и през нея са построени три прави, сключващи помежду си ъгли от 60 градуса и пресичащи страните на триъгълника както е на чертежа. Докажете, че ако [tex]MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}=MA_{2}+MB_{2}+MC_{2}[/tex], то тези прави са успоредни на страните на триъгълника АВС.

[Реклама]

[mkmarinov]

Първо, доказваме че

[tex] \triangle MB_1B_2 \approx \triangle MC_1C_2 \approx \triangle MA_1A_2 [/tex]
(с два ъгъла, доказателството го оствям на читателя )
Разглеждаме ротация:
[tex]MA_1 -> MA_3; MB_1 -> MB_3; MC_1 -> MC_3[/tex]
с ъгъл на ротация 60 градуса, като те ще лежат на същите прави като точките с индекс 2. Приемаме, че тези точки лежат извън триъгълника (или и трите са вътре, или и трите са вън, или съвпадат със тези с индекс 2 - от подобността). Тогава имаме:
[tex]\angle MC_1C_3=\angle MC_3C_1=\angle C_1MC_3=60^\circ[/tex]
[tex]C_1M > C_2M[/tex]
[tex]B_1M > B_2M[/tex]
[tex]A_1M > A_2M[/tex]
Събираме и получаваме контрадикция с условието. По същият начин и ако са вътре в триъгълника, така че остава само
[tex]A_3\equiv A_2[/tex]
[tex]B_3\equiv B_2[/tex]
[tex]C_3\equiv C_2[/tex]
Откъдето навсякъде ни се получават ъгли от 60 градуса и задачата е решена .