Правоъгълен триъгълник с вписана окр. и..

[TheXFiles]

В правоъгълен триъгълник е вписана окръжност. През допирните точки на окръжността с катетите са прекарани прави успоредни на хипотенузата. Отсечките от тези прави ограничени от катетите са равни на 15 и 20. Да се намери хипотенузата на триъгълника.

[Реклама]

[TheXFiles]

A₁B₁=20
A₂B₂=15
▲A₁B₁C~▲A₂B₂C по първи признак за подобие на ▲
=> B₁C:B₂C=A₁B₁:A₂:B₂=4:3
Нека B₁C=4x; B₂C=3x; x>0
B₂C=A₂C=3x
От Питагоровата теорема за ▲A₁B₁C: A₁B₁²=A₁C²+B₁C² => A₁B₁=5x=20 => x=4;

r=A₂C=B₂C=3x=12;

▲ABC~▲A₁B₁C по първи признак;
=> AB:BC:AC=5:4:3; Нека AB=5k, BC=4k, AC=3x; k>0;

2r=AC+BC-AB
24=3k+4k-5k
k=12;
AB=5k=60.

[ins-]

Хубава задача ... падна ми се на олимпиада в 9 клас ... (1996 г.) задачата е в раздел - правоъгълен триъгълник - група "В" на един много известен сборник - там има още едно решение ... могат в "малките" триъгълници да се впишат окръжности и да се използва подобие и т. Питагор.
Като ученик успях тогава да намеря още едно решение, но е по-сложно от даденото тук.

[TheXFiles]

Не знаех, че е давана на олимпиада. Доста ме затрудни вчера. Какви ли не построения правих.. Като цяло след като я реших ми стана малко кофти колко е елементарно решението...

[ins-]

Не е трудна, но и не е лека ...
това беше задача 2 от темата ...

Останалите задачи са:

1. Решете системата:
[tex]y^{3}+9x^{2}-27x-27=0[/tex]
[tex]z^{3}+9y^{2}-27y-27=0[/tex]
[tex]x^{3}+9z^{2}-27z-27=0[/tex]

3. Да се намери броя на нулите, на които завършва числото:
[tex]A={P_1}^{100}.({P_1}^{100}.{P_2}^{99})...({P_1}^{100}...{P_{100}})[/tex],
където [tex]{P_1}, ..., {P_{100}}[/tex] са сто последователни прости числа.

Смятам, че темата е много здрава и сегашните теми на НОМ са много по-зле...

[Пафнутий]

Е тази за простите не ми се вижда кой знае колко трудна. Трябва да намерим степента, с която [tex]P_{3}[/tex] участва в каноничното разлагане на [tex]A[/tex]. Ако не се лъжа е [tex]98^2[/tex]

[pepspi]

А защо 98 е на квадрат?