Успоредни прави

Pinetop Smith

Дадени са две успоредни прави. Върху едната са отбелязани m точки, а върху другата - n. Построени са всички отсечки с краища тези точки. Да се намери броят на пресечните точки на отсечките.

Реклама

estoyanovvd · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 4:22 pm Заглавие:

Предполагам, че никои три отсечки с краища точки от различните прави не се пресичат в една точка, нали?
Тогава отговорът е [tex]C_{n}^{2}.C_{m}^{2}[/tex] нали?!

Pinetop Smith · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 4:24 pm Заглавие:

Да, забравих да го спомена Smile

estoyanovvd · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 4:26 pm Заглавие:

Като сме тръгнали да се учим да броим, хайде да ми пресметнете броя на пресечните точки на диагоналите в изпъкнал n-ъгълник.

Baronov · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 10:46 pm Заглавие:

По същата логика [tex]C^{4}_{n}[/tex], ако разбира се няма три в една точка.

estoyanovvd · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 10:50 pm Заглавие:

Точно! Логиката е, че се броят четириъгълниците с върхове в дадените точки. И да, забравих и аз да кажа, че никои три диагонала не се пресичат в една точка! При успоредните прави обаче два от върховете лежат на едната права, а другите два - на другата. За това и формулата е малко по-различна.

estoyanovvd · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 10:54 pm Заглавие:

Хайде сега нещо малко по-трудно. На колко части разделят равнината n прави, никой три от които не минават през една точка и никои две не са успоредни (така наречените n прави в общо положение)?

mousehack · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 11:38 pm Заглавие:

2n

estoyanovvd · Пуснато на: Sun Mar 15, 2009 11:50 pm Заглавие:

Не.

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 9:34 am Заглавие:

r2d2 · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 12:29 pm Заглавие:

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 1:09 pm Заглавие:

Не разбрах! Embarassed

Отговорът на Баронов е верен. ??? Crying or Very sad

Или казваш, че може да се реши и за правилен многоъгълник?

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 1:14 pm Заглавие:

Ганка, ако иска да си обясни решението, та да разберат всички как става. А за останалите ето ви още една подобна задачка :
Намерете на колко части разделят равнината n окръжности, всеки две от които се пресичат и никои три не минават през една точка.

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 5:09 pm Заглавие:

dim · Пуснато на: Mon Mar 16, 2009 11:50 pm Заглавие:

estoyanovvd · Пуснато на: Tue Mar 17, 2009 12:16 am Заглавие:

Правилно! Браво! Само не казвай, че пак ще доказваш формулата по индукция! Wink

dim · Пуснато на: Tue Mar 17, 2009 2:10 am Заглавие:

estoyanovvd · Пуснато на: Tue Mar 17, 2009 8:49 am Заглавие:

Аз бих го казал така. Нека n-1 окръжности разделят равнината на [tex]a_{n-1}[/tex] части. Чертаем n-та окръжност. Тя съдържа върху себе си 2(n-1) пресечни точки, които я разделят на 2(n-1) дъги. Всяка от тези дъги минава през част от равнината, унищожава я, но на нейно място създава две нови части, т.е увеличава броя на частите от равнината с 1. И така получаваме следната зависимост [tex]a_{n}=a_{n-1}+2(n-1)[/tex]. Разписваме

[tex]a_{1}=2[/tex]
[tex]a_{2}=a_{1}+2.1[/tex]
[tex]a_{3}=a_{2}+2.2[/tex]
...
[tex]a_{n}=a_{n-1}+2.(n-1)[/tex]

Cъбираме тези равенства и получаваме [tex]a_{n}=2+2.1+2.2+...+2.(n-1)=2+2.(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)=n^{2}-n+2[/tex]

Това е същото като на dim, но съм опитал да го направя по-достъпно според мен. Rolling Eyes