неравенство

[naitsirk]

ако [tex]x+y+z=0[/tex] Да се докаже, че [tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3\ge 6xyz[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

СА-СГ за лявата страна и [tex]A \ge 4xyz\sqrt[4]{3}[/tex]. Сега (?) [tex]4|xyz|\sqrt[4]{3}\ge 6xyz[/tex]. Равенство за xyz=0 ;СА-СГ за [tex]x+y+z=0 => 0\ge xyz[/tex]. Сега [tex]A\ge0 \; 6xyz\le 0[/tex]

[naitsirk]

само, че никъде не е казано, че x,y,z са положителни, т.е. за x+y+z=0 не можеш да ползваш СА-СГ

[NoThanks]

Едит: всъщност си прав.

[naitsirk]

е ти твърдиш че xyz≤0 ами ако x=5, y=-2, z=-3 x+y+z=0, a xyz=30>0

[zhivko_sh]

Ясно е, че не може едновременно [tex]x+y<0[/tex],[tex]y+z<0[/tex] и [tex]x+z<0[/tex]. БОО [tex]x+y\ge 0[/tex]. Тогава като се замести [tex]z=-x-y[/tex] и положим [tex]x+y=a[/tex],[tex]xy=b[/tex] получаваме следното неравенство: [tex]b^{2}-(2a^{2}-6a)b+a^{4}+3\ge 0[/tex] (че трябва да се докаже). Но на последния израз дискриминантата му е [tex]-12(a-1)^{2}(2a+1)\le 0[/tex] поради [tex]a\ge 0[/tex]. Тогава и исканото неравенство е в сила.

[naitsirk]

[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3\ge 6xyz[/tex] <=>
[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3-6xyz\ge 0[/tex]
тъй като x+y+z=0, прибавяме към лявата страна [tex](x+y+z)^2-2(x+y+z)[/tex], което също е 0 и не променя неравнеството.
[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3-6xyz+(x+y+z)^2-2(x+y+z)\ge 0[/tex],
имайки предвид, че 3=1+1+1 и -6xyz=-2xyz-2xyz-2xyz, и след преработване на израза стигаме до:
[tex]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-2xyz-2xyz-2xyz+1+1+1+x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x-2y-2z\ge 0[/tex]
групираме:
[tex](x^2y^2+z^2+1-2xyz+2xy-2z)+(y^2z^2+x^2+1-2xyz+2yz-2x)+ (z^2x^2+y^2+1-2xyz+2zx-2y)\ge 0 [/tex],
което е еквивалентно на:
[tex](z-xy-1)^2+(x-yz-1)^2+(y-zx-1)^2\ge 0[/tex],
което очевидно е изпълнено