Интересна задача

chessman · Начинаещ Регистриран на: 14 Mar 2009 Мнения: 13

Здлавейте! Днес бях на общински кръг на олимпиадата по математика!
Питането ми е
Ако ab+bc+ac=1 Да се докаже, че
a/1-a^2 + b/1-b^2 + c/1-c^2 = 4abc/ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)

Реклама

martosss

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Mar 14, 2009 2:17 pm Заглавие:

[tex]ab+bc+ac=1 [/tex] Да умножим това равенство последователно по a, b, c. Тогава ще получим равенствата
[tex]a^2b+abc+ca^2=a[/tex]
[tex]ab^2+b^2c+abc=b [/tex]
[tex]abc+bc^2+ac^2=c [/tex] Сега да ги съберем =>[tex]ab^2+b^2c+a^2b+a^2c+bc^2+ac^2+3abc=a+b+c [/tex]
[tex]=>a+b+c-(ab^2+b^2c+a^2b+a^2c+bc^2+ac^2)=3abc [/tex]
След привеждане под ОЗ получаваме
[tex]\frac{a+b+c-(ab^2+b^2c+a^2b+a^2c+bc^2+ac^2)+ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2}{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2) }=\frac{3abc+abc(bc+ab+ac)}{ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2) }=\frac{4abc }{ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2) } [/tex]