Трябват ми отговорите на задачите за кандидатстване в Симеон

[vlmg]

Здр мн ми трябват отговорите (може и решенията) на задачите давани на изпити в академията на мвр

задачите са тук:
http://www.academy.mvr.bg/NR/rdonlyres/751D7613-242C-4E00-B1AA-5786E18DFF3F/0/Tema_2_MVR_2008.doc

http://www.academy.mvr.bg/NR/rdonlyres/4BDF0A0A-2C8C-40AF-9498-C9F36062A5A8/0/variant3.doc

http://www.academy.mvr.bg/NR/rdonlyres/2FCAE8D9-5F43-4B14-B31B-5DA5A59175F1/0/matematika.doc[/url]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Тема 2
Задача 1, а). [tex]f(x)=x^2-x-6, g(x)=x-p, p\in R[/tex]
[tex]f(x)=g(x) \Leftrightarrow x^2-x-6=x-p \Leftrightarrow x^2-x-6=x-p \Leftrightarrow x^2-2x+p-6=0[/tex]
Сега, използвайи теоремата на Виет, преобразуваме неравенството, което трябва да решим:
[tex]x_{1}^2x_{2}+x_{1}x_{2}^2<2 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})<2 \Leftrightarrow -\frac{b}{a}.\frac{c}{a}<2 \Leftrightarrow \cancel 2(p-6)<\cancel 2 \Leftrightarrow p<6[/tex].
б) [tex]\sqrt{f(x)}\ge g(x), p=2 \Rightarrow \sqrt{x^2-x-6}\ge x-2[/tex]
Сега, ако [tex]x-2<0 \Leftrightarrow x<2[/tex], то неравенството е очевидно и всяка стойност на променливата, за която изразът под радикала е дефиниран, е решение.
[tex]\cyr {DO:} x^2-x-6\ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-2]\cup [3;+\infty)[/tex]
Отчитайки интервала, в който разглеждаме дясната страна на неравенството, определяме [tex]x\in (-\infty;-2][/tex].
Ако обаче [tex]x-2\ge 0 \Leftrightarrow x\ge 2[/tex], то ние сравняваме две неотрицателни числа и можем да повдигнем на квадрат (при неравенствата на квадрат се повдигат единствено неотрицателни числа!): [tex](\sqrt{x^2-x-6})^2\ge (x-2)^2 \Leftrightarrow^{\cyr DO} \cancel {x^2}-x-6\ge \cancel {x^2}-4x+4 \Leftrightarrow 3x\ge 10 \Leftrightarrow x\ge \frac{10}{3}[/tex].
в) [tex]p=2 \Rightarrow g(x)=x-2; f(x)=x^2-x-6 \Rightarrow \lim_{x\to -2}\frac{g(x)}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\to -2}\frac{x-2}{x^2-\cancel x-6+\cancel x-2}=\lim_{x\to -2}\frac{x-2}{x^2-8}=\frac{-2-2}{4-8}=\frac{-4}{-4}=1[/tex]

Задача 2, а). [tex]\log_{2}(2^x+2^{2-x}-5)+\log_{\frac{1}{2}}(1-2^{-x})=2[/tex]
[tex]{\cyr DO:} \begin{array}{||}2^x+\frac{4}{2^x}-5>0 \\ 1-\frac{1}{2^x}>0\end{array}[/tex]
[tex]\log_{2}(2^x+\frac{4}{2^x}-5)+\log_{\frac{1}{2}}(1-\frac{1}{2^x})=2[/tex]
Въвеждаме [tex]2^x=t, t>0 \Rightarrow \log_{2}(t+\frac{4}{t}-5)+\log_{\frac{1}{2}}(1-\frac{1}{t})=2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{2}(t+\frac{4}{t}-5)-\log_{2}(1-\frac{1}{t})=2 \Leftrightarrow [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \log_{2}{\frac{t+\frac{4}{t}-5}{1-\frac{1}{t}}}=2 \Leftrightarrow [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{t+\frac{4}{t}-5}{1-\frac{1}{t}}=4 \Leftrightarrow [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{t^2-5t+4}{\cancel t}.\frac{\cancel t}{t-1}=4 \Leftrightarrow [/tex]
[tex]\Leftrightarrow t^2-5t+4=4(t-1), t\neq 1 \Rightarrow (t-4)(t-1)=4(t-1) \Rightarrow t=8 \Rightarrow x=3, x\in \cyr DO[/tex].

Задача 3, а). Да означим [tex]\angle BAC=\angle ABC=\varphi[/tex]. От синусовата теорема определяме [tex]\frac{AC}{sin\varphi}=2R \Leftrightarrow sin\varphi=\frac{AC}{2R} \Leftrightarrow sin\varphi=\frac{4}{5} \Rightarrow cos\varphi=\frac{3}{5}[/tex]. От [tex]\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=2\varphi+\angle ACB=180^\circ[/tex] имаме [tex]\angle ACB=180^\circ-2\varphi[/tex]. Пресмятаме [tex]sin(180^\circ-2\varphi)[/tex]: [tex]sin(180^\circ-2\varphi)=sin 2\varphi= 2 sin\varphi cos \varphi=2.\frac{3}{5}.\frac{4}{5} \Leftrightarrow sin 2\varphi=\frac{24}{25}[/tex]. Сега от формулата за лице на триъгълник [tex]S=\frac{ab sin\gamma}{2}=\frac{bc sin\alpha}{2}=\frac{ac sin\beta}{2}[/tex] лесно намираме [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{40.40.\frac{24}{25}}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=768[/tex].
б) Отново от синусовата теорема [tex]\Rightarrow \frac{AB}{sin(180^\circ-2\varphi)}=2R \Leftrightarrow \frac{AB}{sin 2\varphi}=2R \Leftrightarrow AB=2R sin2\varphi \Leftrightarrow AB=2.\cancel {25}.\frac{24}{\cancel {25}} \Leftrightarrow AB=48[/tex]. Изчисляваме полупериметъра на триъгълника: [tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{40+40+48}{2} \Leftrightarrow p=64[/tex], и от формулата [tex]S=pr \Rightarrow r=\frac{S}{p} \Leftrightarrow r=\frac{768}{64} \Leftrightarrow r=12[/tex].
в) Понеже отсечката [tex]CD[/tex] е диаметър на описаната окръжност, то [tex]CD=2R=50[/tex] и освен това [tex]\angle CBD=90^\circ[/tex]. От Питагоровата теорема [tex]\Rightarrow BC^2+BD^2=CD^2 \Leftrightarrow BD^2=CD^2-BC^2 \Leftrightarrow BD^2=50^2-40^2 \Leftrightarrow BD^2=2500-1600 \Leftrightarrow BD^2=900 \Leftrightarrow BD=30[/tex].

[Spider Iovkov]

Тема 1, 2006 г.

Задача 2. [tex]f(x)=x^2-2x-3[/tex]
а) [tex]f'(x)=(x^2)'-(2x)'=2x-2=2(x-1) \Rightarrow f''(x)=[2(x-1)]'=2(x-1)'=2x'=2[/tex]
б) [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{x.f'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x(x-1)}{x^2-2x-3}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-2x}{x^2-2x-3}=2[/tex]
[tex]\lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{f'(x).f''(x)-8}=\lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{4(x-1)-8}=\lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{4x-12}=\lim_{x\to 3}\frac{(x+1)\cancel {(x-3)}}{4\cancel {(x-3)}}=\lim_{x\to 3}\frac{x+1}{4}=\frac{3+1}{4}=1[/tex]
в) [tex]\log_{5}(5^x-4), \frac{1}{2}[f'(x)+f''(x)], \log_{5}(3.5^x+10)[/tex]
[tex]f'(x)+f''(x)=2x-\cancel 2+\cancel 2=2x \Rightarrow \log_{5}(5^x-4), x, \log_{5}(3.5^x-10)[/tex]
Сега използваме свойството на аритметичната прогресия, а именно че ако числата [tex]a,b,c[/tex] са последователни членове на такава прогресия, то е изпълнено [tex]b=\frac{a+c}{2} \Leftrightarrow 2b=a+c[/tex]. В такъв случай ще получим
[tex]f'(x)+f''(x)=\log_{5}(5^x-4)+\log_{5}(3.5^x+10) \Leftrightarrow 2x=\log_{5}(5^x-4)(3.5^x+10) \Leftrightarrow 5^{2x}=(5^x-4)(3.5^x+10) \Leftrightarrow (5^x)^2=(5^x-4)(3.5^x+1)[/tex].
Сега въвеждаме новото неизвестно [tex]5^x=t, t>0[/tex], и достигаме до
[tex]t^2=(t-4)(3t+10) \Leftrightarrow t^2=3t^2+10t-12t-40t \Leftrightarrow 2t^2-2t-40=0 \Leftrightarrow t^2-t-20=0 \Leftrightarrow t_{1}=5, t_{2}=-4, t_{1}\in {\cyr DM}_{t}, t_{2}\cancel \in {\cyr DM}_{t} \Rightarrow x=1[/tex].

Задача 3.
а) Нека ромбът е [tex]ABCD[/tex], като [tex]S_{ABCD}=Q[/tex] и [tex]AC=d[/tex]. Нека също така двата диагонала да се пресичат в точка [tex]O[/tex]. Очевидно [tex]AO=CO=\frac{d}{2}[/tex]. Лицето на ромба ще пресметнем по формулата [tex]S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2} \Leftrightarrow Q=\frac{BDd}{2} \Leftrightarrow BD=\frac{2Q}{d} \Rightarrow BO=DO=\frac{Q}{d}[/tex]. Понеже [tex]AC\bot BD[/tex], то [tex]\angle AOB=90^\circ \Leftrightarrow AO^2+BO^2=AB^2 \Leftrightarrow (\frac{d}{2})^2+(\frac{Q}{d})^2=AB^2 \Leftrightarrow AB^2=\frac{d^4+4Q^2}{4d^2} \Leftrightarrow AB=\frac{\sqrt{d^2+4Q^2}}{2d}[/tex].