Граници с теореми на Лопитал

[kasperr]

Здравейте бих искъл да ми помогнете с решението на тези граници.

1. [tex]\lim_{x\to 0}(tgx)^{\frac{lncosx}{arctgx}}[/tex]
2. [tex]\lim_{x\to 0}(sinx)^{\frac{arctg^2x}{ln(1-x)}}[/tex]
3. [tex]\lim_{x\to 0}(tgx)^{\frac{(1-cosx)}{arcsinx}}[/tex]

[Реклама]

[ferry2]

1. [tex]\lim_{x\to 0}(tgx)^{\frac{lncosx}{arctgx}}=[0^0]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{\arctan x}.\ln \tan x}=\frac{0}{0}[/tex] Сега може по два начина: да използваме правилото на Лопитал и да диференцираме поотделно числителя и знаменателя или да използваме асимптотичните равенства - [tex]\ln (1+x) \sim x,\tan x \sim x, \arctan x \sim x[/tex] при [tex]x\rightarrow 0[/tex]. С тях ще стане по-лесно затова прилагам тях

[tex]e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\cos x-1)}{\arctan x}.\ln (1+\tan x-1)}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(\cos x-1).(\tan x-1)}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\cos x.\tan x-\cos x-\tan x+1}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(x.\cos x-\cos x-x+1)'}{x'}}=[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}(\cos x-x.\sin x+\sin x-1)}=e^0=1[/tex]

Останалите стават по същия начин ! За тях може да ти се наложи да използваш асимптотичните равенства: [tex]\sin x \sim x,\arcsin x \sim x, 1-\cos x \sim x^2[/tex] при [tex]x \rightarrow 0[/tex] !

[kasperr]

Благодаря ти много за бързия отговор.Много ми помогна,една от задачите на изпита,който ми предстои ще е подобна и исках да зная алгоритъма.

3.[tex]\lim_{x\to 0}(tgx)^{\frac{(1-cosx)}{arcsinx}}=[0^0]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)}{arcsinx}.\ln tgx}=\frac{0}{0}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{x^2(lntgx)}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}{x(lntgx)}}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{lntgx}{\frac{1}{x}}}=[\frac{\infty}{\infty}]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{tgx}.\frac{1}{cos^2x}}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}}[/tex]

[tex]=e^0=1[/tex]

P.S Доста промени вкарах все грешки си откривам,ако може някой да помогне.

[Mandos]

Да, мисля че по този метод е така.

[ferry2]

[kasperr]

[ferry2]

3.[tex]\lim_{x\to\0}(\tan x)^{\frac{(1-\cos x)}{\arcsin x}}=[0^0]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)}{\arcsin x}.\ln \tan x}=\frac{0}{0}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{x^2.\ln(1+\tan x-1)}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}{x.(\tan x-1)}}=[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}(x.\tan x-x)}=[/tex]

[tex]=e^0=1[/tex]

Според мен е така!

[r2d2]

Внимавайте с (1-cos x) !!!

[kasperr]

Още 2 граници:

1.[tex]\lim_{x\to 0}(\frac{arctgx}{x})^{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-1}}[/tex]

Като стигам до:

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}ln\frac{arctgx}{x}}[/tex]

Отг:[tex]e^{-\frac{2}{3}}[/tex]

2.[tex]\lim_{x\to 0}(\frac{tgx}{arctgx})^{\frac{1}{arcsin^2x}}[/tex]

Отг:[tex]e^{\frac{2}{3}}[/tex]


Отговорите са дадени в ръководството,но така и не достигнах до тях.

[ferry2]

1. [tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right)^{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-1}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{\arctan x}{x}\right)}{\sqrt{1+x^2}-1}}=[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\arctan x}{x}-1}{\frac{x^2}{2}}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{2(\arctan x-x)'}{(x^3)'}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{2(\frac{1}{1+x^2}-1)}{3x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}-\frac{2\cancel{x^2}}{(1+x^2).3\cancel{x^2}}}=e^{-\frac{2}{3}}[/tex]



2. [tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan x}{\arctan x}\right)^{\frac{1}{\arcsin x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{tan x}{\arctan x}\right)}{\arcsin x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(\tan x-\arctan x)'}{(x^3)'}}=[/tex]


[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{1+x^2-\cos^2 x}{(1+x^2).\cos^2 x.3x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(1+x^2-\cos^2 x)'}{3(x^2.\cos^2 x+x^4.\cos^2 x)'}}=[/tex]


[tex]=e^{\lim_{x\to 0}\frac{2x+\sin 2x}{3(2x.\cos^2 x-x^2.\sin 2x+4x^3.\cos^2 x-x^4.\sin 2x)}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{4x}}{\cancel{6x}(\cos^2 x-x^2+2x^2.\cos^2 x-x^4)}}=e^{\frac{2}{3}}[/tex]

[kasperr]

ferry2 направил сам грешка при писане на задача 2,при [tex]arcsinx^2[/tex] трябва да е [tex]arcsin^2x[/tex].Но като гледам ти май като [tex]arcsin^2x[/tex].Мерси отново,мисля че ще се справям вече с такива задачи и сам.

[ferry2]

[kasperr]

Така ето едната от задачите по горе,която ще пробвам да реша

[tex]\lim_{x\to 0}(sinx)^{\frac{arctg^2x}{ln(1-x)}}=e^{\lim_{x\to\0}{\frac{x^2}{ln(1-x)}}{lnsinx}}=e^{\lim_{x\to\0}{\frac{lnsinx}{\frac{ln(1-x)}{x^2}}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{(sinx-1)x^2}{ln(1-x)}}=e^{\lim_{x\to\0}{\frac{(x^2)'(sinx-1))+(x^2)(sinx-1)'}{(ln(1-x))'}}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{(2x)(sinx-1))+(x^2)(cosx)}{\frac{1}{1-x}}[/tex]

[tex]=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{1-x}{(2x)(sinx-1))+(x^2)(sosx)}}}=e^{\frac{1}{2}[/tex]


Дано да е както трябва,че почнах да се отчаивам вече.

[ferry2]