Регистрирайте сеРегистрирайте се

11.2 "Димо Малешков" 2005г.


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Thu Mar 12, 2009 3:53 pm    Заглавие: 11.2 "Димо Малешков" 2005г.

Задача 11.2 Да се намерят всички естествени числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], [tex] a>b [/tex], за които

[tex](a-b)^{a+b+2}=a^{b}.b^{a}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
JusTok
Редовен


Регистриран на: 26 Jul 2007
Мнения: 117
Местожителство: Варна
Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3
гласове: 24

МнениеПуснато на: Thu Mar 12, 2009 4:59 pm    Заглавие:

Нека (a,b)=d и a=d.a1, b=d.b1
da+b+2(a1-b1)a+b+2=da+b.a1b.b1a
d2(a1-b1)a+b+2=a1b.b1a
Понеже (a1,a1-b1)=1 и (b1,a1-b1)=1 =>a1-b1=1
d2=a1b.b1a
ако а1≠1 и b1≠1 => а и b са точни квадрати. Но тогава а=d.a1=d.(b1+1)=p2 и b=d.b1=q2. Оттук => d|b1 и d|b1+1 =>d=1.Тогава а1b.b1 a>1=d2(a1-b1)a+b+2 - противоречие.
=>b1=1 и a1=2
d2=2d.Оттук d=2 или d=4 и решенията са (4,2) и (8,4).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Thu Mar 12, 2009 7:37 pm    Заглавие:

Да ти кажа не разбирам изцяло решението ти и то доста се доближава (сигурно 90%) с авторското, но това не означава, че не си се справил добре. Интересно ще ми е да видя някакво друго решение, което да използва различна идея.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Mar 12, 2009 7:52 pm    Заглавие:

Решението е абсолютно вярно. Само че трябва да се докаже, че [tex]d[/tex] не е точен квадрат, което е елементарно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.