"Румен Грозданов"

math10_rullz · Начинаещ Регистриран на: 26 Oct 2007 Мнения: 10

Здравейте всички,

2005 , 2ра , 11 клас
Задачата е следната:

Ако [tex]x+y+z \le 1[/tex] и [tex]x,y,z \ge 0[/tex],
да се докаже:
[tex]x^2y+y^2z+^2z+xyz \le 4/27[/tex]

2007 , 2ра , 11 клас
[tex](x+1)^{n+1}+(x+2)^{n+1}+....+(x+2007)^{n+1}=y^2[/tex]
Да се намери минималното естествено n, за което уравнението е удовлетворено и x и y са цели.

За момента нямам много идеи.
Благодаря предварително!

Реклама

martosss

dim · Пуснато на: Wed Mar 11, 2009 11:40 pm Заглавие:

За втората задача използвам популярните формули [tex]1^2+2^2+...+p^2=\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}[/tex] и [tex]1^3+2^3+...+p^3=(1+2+...+p)^2[/tex], които се доказват лесно по индукция.

За [tex]n=2[/tex] и [tex]x=0[/tex], у-то има придобива вида [tex]1^3+2^3+...+2007^3=(1+2+...+2007)^2=y^2[/tex]=>[tex]n=2[/tex] удволетворява условието.

За [tex]n=1[/tex] имаме [tex](x+1)^2+(x+2)^2+...+(x+2007)^2=2007x^2+2x(1+2+...+2007)+(1^2+2^2+...2007^2)=2007x^2+2.(669.1004.4015).x+2007.1004[/tex]. Дискриминантата на последното не е [tex]0[/tex]=>у-то няма решение в цели числа за [tex]n=1[/tex]=>[tex]n=2[/tex] е най-малкото, което уволетворява условието.

Baronov · Пуснато на: Wed Mar 11, 2009 11:57 pm Заглавие:

Аз бях на състезанието през 2005. Първата задача не става само с неравенства между средните. С множители на Лагранж е абсурд. Единственото решение, което знам е като се разгледат някакви наредби. То има 2 възможни наредби, защото е циклично, а не симетрично. За едната май беше очевидно или нещо такова. Абе с наредби. С една дума измислена работа. Като всички неравенства, най-големите измишльотини в математиката, според мен.

Baronov

math10_rullz · Начинаещ Регистриран на: 26 Oct 2007 Мнения: 10

Значи, на първа, ако направим оценка отгоре и докажем, че НГС е по-малка или равна на 4/27, задачата е решена.

При фиксиран сбор не по-голям от 1 и дадено, че числата са положителни, очевидно че
НГС(xyz) се достига при x=y=z, както и x²y,x²z,z²x;
Тогава x,y и z ще са по 1/3 => НГС(на цялото)ще е 1/3³+1/3³+1/3³+1/3³=4/27

Кажете доказано ли е така? На мене ми се струва не напълно. Защото НГС(x^2*y и на другите две събираеми) не съм сигурен, че е (1/3)^3

Пафнутий · Пуснато на: Thu Mar 12, 2009 6:34 pm Заглавие:

На неравенството и аз забих. Ясно е, че със средните няма да стане, защото можем да намерим само долна граница. Накрай пробвах с Rearangement, но пак нищо... За подредби се сетихме днес в училище и пак не я докарахме. Laughing