задача от функции

[sa6eto]

здравейте! искам да попитам за една задача от финкции.

Дадена е [tex]f(x)=x^4-6x^2+12x-6[/tex]
a)докажете, че f(x) има само 1 локален екстремум;
б)докажете, че f(x) > 0 за всяко x>=1;
в)докажете, че уравнението f(x)=0 има точно 2 различни корена.

Благодаря ви предварително.

[Реклама]

[crazymonster]

Намираш първата производна на f(x)=4x³-12x+12

Намираш втората производна:
12x²-12

Приравняваш на нула втората производна. Получаваш два корена -
±1
Функцията има два екстремума
-1 <0 - локален максимум
1 >0 - локален минимум

Това е за a)

[nikko1]

Представяш f(x) като произведение на два унитарни полинома от втора степен като коефициентите пред първите степени се отличават по знак [tex]x^4-6x^2+12x-6=(x^2-ax+b)(x^2+ax+c)=x^4+x^2(b+c-a^2)+ax(b-c)+bc.[/tex] Така в лявата и дясната част имаме равни полиноми, а два полинома са равни тогава и само тогава, когато са равни коефициените пред съответните степени. Получаваме системата
[tex]\begin{array}{|l}bc=-6\\a(b-c)=12\\b+c-a^2=-6\end{array}[/tex]
Тук се налага да налучкаме решение и най-често такова се получава за [tex]b=\pm c[/tex]. Тук, ако b=c, то [tex]b=\sqrt{6},\, c=-\sqrt{6}[/tex] и за [tex]a[/tex] също получаваме [tex]a=\sqrt{6}.[/tex] Така
[tex]\ (*)\ \ \ x^4-6x^2+12x-6=(x^2+\sqrt{6}x-\sqrt{6})(x^2-\sqrt{6}x+\sqrt{6})=0[/tex]
и имаме да решим две квадратни уравнения с дискриминанти съответно [tex]\cal{D}_1=6+4\sqrt{6}>0[/tex] и [tex]\cal{D}_2=6-4\sqrt{6}<0[/tex] и така имаме две различни реални решения от първото уравнение, а второто няма реални решения. Така решихме в)
б) Разглеждаме разлагането (*). Т.к. вторият множител [tex]x^2-\sqrt{6}x+\sqrt{6}[/tex] има отрицателна дискриминанта, така че този множител е винаги положителен. Така знакът на [tex]f(x)[/tex] зависи само от първия множител, обаче при [tex]x\geq 1[/tex] първия множител [tex]x^2+\sqrt{6}(x-1)>0[/tex] като сума от ненулев квадрат и неотрицателно събираемо.

[ганка симеонова]

На така дадената функция първата производна е трудна за определене на евентуални екстремуми. Затова ще разделим уравнението
на [tex]-x^4 [/tex]. (х=0 ) не е решение.
Получаваме [tex]6\frac{1}{x^4 } -12\frac{1}{ x^3}+6\frac{1}{ x^2} -1=0 [/tex]. Полагаме [tex]g(u)=\frac{1}{x }=u=>6u^4-12u^3+6u^2-1=0[/tex]
Ясно е, че изходното и полученото уравнения ще имат еднакъв брой корени.
[tex]g'(u)=24u^3-36u^2+12u [/tex] Това уравнение се решава лесно, като разделим на 12.
[tex]g'(u)=24u(u-1)(u-\frac{1}{2 })[/tex]=>[tex]y_{min}(0)=-1; y_{max}(\frac{1}{ 2} )=-\frac{5}{8 }; y_{min}(1)=-1 [/tex].Тогава е ясно, че графиката ще пресече оста Ох само на две места, т.е. уравнението ще има два корена.