Тетраедър

[ObsCure]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с пълна повърхнина [tex]S[/tex] и радиус на вписаното кълбо [tex]r[/tex].Нека P е такава точка от ръба [tex]CD[/tex],че [tex]DP:CP=3:7[/tex],а радиусите на вписаните в пирамидите [tex]ABPD[/tex] и [tex]ABPC[/tex] кълба са съответно равни на [tex]r_{1}[/tex] и [tex]r_{2}[/tex].Ако [tex]\delta[/tex] е лицето на ▲ABP,да се докаже,че


[tex]\delta=\frac{S}{20r_{1}r_{2}}(7rr_{1}+3rr_{2}-10r_{1}r_{2})[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

Тук ще използваме, че обем на многостен, в който може да се впише кълбо е равен на [tex]V=\frac{1}{ 3}S_1. r[/tex], където [tex] S_1[/tex] е пълната повърхнина на многостена, а [tex]r [/tex] - радиусът на вписаното кълбо.
Да разгледаме пирамидата [tex] ABPD [/tex] Нейният обем е 3/10 от обема на [tex]ABCD [/tex], който ще означа с [tex]V[/tex].От друга страна
[tex]V_{ABPD}=\frac{1}{3 } (S_{ABD}+\delta +\frac{3}{10 } (S_{ACD}+S_{BCD}))r_1 [/tex]=>[tex]\frac{1}{ 3} (S_{ABD}+\delta +\frac{3}{10 } (S_{ACD}+S_{BCD}))r_1) =\frac{3}{10 }.\frac{1}{3 }Sr=>S_{ABD}+\delta +\frac{3}{10 } (S_{ACD}+S_{BCD}))=\frac{3Sr}{ 10r_1} [/tex](*) С аналогични разсъждения за [tex]ABCP[/tex], чийто обем е 7/10 от обема на [tex]ABCD[/tex] получаваме[tex]S_{ABC}+\delta +\frac{7}{10 } (S_{ACD}+S_{BCD}))=\frac{7Sr}{ 10r_2}[/tex](**)
Събираме (*) и (**) и получаваме [tex]S+2\delta=\frac{Sr}{10r_1r_2 }(7r_1+3r_2)=>\delta =\frac{Sr}{ 20r_1r_2} (7rr_1+3rr_2- 10r_1r_2) [/tex]