Трудни задачи

[empty23]

Предлагам тук да постваме,някои интересни задачи давани на олимпиади и състезания по математика.
Ето една задача която току що реших
Да се намерят двете най-малки последователни естествени числа, на които сбора от цифрите им се дели на 1999

[Реклама]

[kotenceto7]

малеееееее такова нещо не бих могла да реша я кажи отговора!

[Usmivka]

zada4ata e dosta lesna (ako baob6te e wqrno towa ,koeto mislq )

ozna4awame ednoto 4islo s n sledowatelno drugoto 4islo e n+1
sborat im e 2n+1 i towa trbwa da e kratno na 1999
kratnoto na 1999 e 1999 sledowatelno
2n+1=1999
2n=1998
n=999
sledowatelno n=1 =1000


otgowor 999;1000

[marto_mn]

[marto_mn]

Най-малките такива числа трябва да са 2999999....998 и 29999...9,където деветките са 221 на брой в първото число и 222 във второто число.

[JusTok]

Нека A₁ и А₂ са числата, а B₁ и B₂ съответно сбора на цифрите им. По условие имаме:
1) A₂=A₁-1
2)1999 дели B₁ и B₂
1999=2.999+1
По-голямото число, A₁ трябва да завършва на 0, в противен случай B₁ и B₂, ще са последователни числа и условие 2) няма да е изпълнено. Тогава, за да е A₁ възможно най-голямо, то ще е от вида
A₁=199...9900..000, където броя на 9-ките е 222, а броя на 0-лите е x. Тогава числото A₂ ще бъде.
A₂=199...99899...99
B₂=(x+222).9=1999
(9,1999)=1 => x+222 дели 1999, 1999 е просто число(не знам как да го докажа )
=>x=1777
Някви идеи как да докажа, че 1999 е просто ?

[Pinetop Smith]

[√1999] = 44. Последователно раздели 1999 на всички прости числа, по-малки от 44. Малко хамалско, ама...

[Pinetop Smith]

Дадено е уравнението [tex] x^2 - xy + 1 = 0[/tex]

Намерете (х, у) така, че

[tex]x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 3y - 1 \le 0 [/tex]

Това е от темата от 2007 на Пролетния мат. турнир, но това става със 7-ми клас.

[Pinetop Smith]

Нека ABCD е изпъкнал четириъгълник. Ако M, N, P, Q са среди на страните му, да се докаже, че

а) S_MNPQ = [tex]\frac{1}{2}[/tex]S_ABCD
б) MNPQ е успоредник

Упътване: докажете, че отсечка, свъзваща две от средите на страните на триъгълник, е успоредна на третата.

[killerbeast]

Ето ви една интересна задача: Ако [tex]x + y +z = 0, x^2 + y^2 + z^2 = 4[/tex], то докажете, че [tex]x^4 + y^4 + z^4 = 8[/tex].

[Pinetop Smith]

a) x и у са рационални числа, за които ху = 2 и х > у. Докажете, че

[tex]\frac{x^2+y^2}{x-y} \ge 4 [/tex]

б) а и b са рационални числа, за които ab = 8. Докажете, че

[tex]a^2 + b^2 - 8a + 8b \ge 0[/tex]

[killerbeast]

Ето за а):
Трябва да докажем следния израз:
[tex]\frac{x^2+y^2}{x-y }\ge4[/tex]
[tex]\frac{x^2 -2xy+y^2+2xy}{x-y }\ge4[/tex]
[tex]\frac{(x-y)^2+2xy}{x-y }\ge 4[/tex]
[tex]\frac{(x-y)^2+4}{x-y }\ge4|.(x-y)[/tex]
[tex](x-y)^2+4\ge4(x-y)[/tex]
[tex](x-y)^2-4(x-y)+4\ge0[/tex]
[tex]->((x-y)-2)^2\ge 0[/tex]

По определение знаем, че [tex]x^2\ge0[/tex] и с това задачката е решена. Другата сега ще я видя.

[killerbeast]

[tex]a^2+b^2-8a+8b=a^2-2ab+b^2-8a+8b+2ab=(a-b)^2-8(a-b)+16=((a-b)-4)^2,x^2\ge0=>a^2+b^2-8a+8b\ge 0[/tex].

[M_Velinova]

Скъпи форумци, настоящи осмокласници!

Темата е прекрасна, но някои от задачите, които поствате са за ученици вече завършили 7 клас.

Моля поствайте тези теми за ученици от 8 клас. Да има и те какво да решават, докато овладеят знанията от програмата за 8 клас.

Поздрави Vel

[Pinetop Smith]

Извинявай, vel!

Тук давах задачи основно за завършили седмокласници без да съобразя, че е по-добре да давам за завършили шестокласници.

Ето една геометрична:

Лицето на един правоъгълен триъгълник е равно на квадрата на медианата към хипотенузата. Докажете, че триъгълникът е равнобедрен.

Надявам се тази да става.

[killerbeast]

Разложете на множители следния израз:

[tex]x^{10}+x^5+1[/tex]

Хубава е за ЗМС според мен.

[tanas]

[Pinetop Smith]

По-интересно е да се реши уравнението x⁵ + x + 1 = 0 По-точно x³ - x² + 1 = 0

ПП: В името на бъзика - http://i.data.bg/07/10/30/637593_orig.jpg