Единствен реален корен

ганка симеонова

Дадено е уравнението [tex]x^3+nx-3n=0 [/tex], където параметърът n е цяло положително число. Да се докаже, че уравнението има единствен реален корен и да се намерят всички стойности на n, за които този корен е цяло число.

Реклама

NoThanks · Гост

[tex]f'(x)=3x^2+n[/tex], но n>0 3x^2>0 => ф-ята е винаги растяща, а една растяща ф-я може да пресече абсцисата най-много веднъж. За да са ни по-малко проверките във втората част смятаме f(0)=-3n<0 и [tex]\lim{x\to\infty}f(x)=+\infty[/tex] Откъдето единственият корен е и положителен. 2рата част я правим с Хорнер. Делителите на свободния член са [tex]\pm 1 \; \pm3 \; \pm n[/tex], а на старшия член [tex]\pm1[/tex]. Сега n>0. Така че проверяваме само положителните стойности, които получаваме.(това са само х=1,х=3,х=n). за да е корен х=1, трябва 1-2n=0 =>ne. х=3 =>27=0 => ne. x=n => [tex]n^3+n^2-3n=0 \Leftrightarrow n=0 \; n=\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}[/tex], Което не е съответно положително и цяло. Т.е няма такова n.

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Mar 08, 2009 5:36 pm Заглавие:

NoThanks · Гост

О,да, много интересно. Забравил съм 3n като делител на свободния член. Браво на вас за отрицателния глас! Отмъщавате си за този, който дадох на Емо ли? Дадох и в училище не сте такъв 'професионалист'!

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Mar 08, 2009 5:46 pm Заглавие:

Дадох ти, защото бързаш. Реши задачата и ще ти дам +, без никакъв проблем..

NoThanks · Гост

100% е заради това. Както казах, не съм ви примрял за плюсовете и за разлика от други, нямам намерение да се мазня на никой, за да ми дава някви плюсове в някъв форум. Не ви отива на възрастта обаче такова държание Evil or Very Mad

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Mar 08, 2009 5:54 pm Заглавие:

r2d2

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 09, 2009 12:12 pm Заглавие:

Не би трябвало да е 10, ама е представена като 10 в примерна тема за СУ Twisted Evil

Spider Iovkov · Пуснато на: Mon Mar 09, 2009 12:47 pm Заглавие:

Ето още един начин, по който се установява, че уравнението има само един корен.
[tex]x^3+nx-3n=0[/tex]
Да допуснем, че уравнението има два корена, тоест е изпълнено:
[tex]a^3+an-3n=0,[/tex]
[tex]b^3+bn-3n=0[/tex]. Изваждаме двете равенства и получаваме
[tex]a^3-b^3+an-bn-\cancel {3n}+\cancel {3n}=0 \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)n=0 \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+n)=0[/tex]. И сега, понеже [tex]a^2+ab+b^2[/tex] е неразложимо и е винаги положително, то и [tex]a^2+ab+b^2+n>0, n\in N[/tex]. В такъв случай имаме [tex]a-b=0 \Leftrightarrow a=b[/tex], или корените на уравнението съвпадат.