НМС и НГС

[ганка симеонова]

Реалните числа х и у удовлетворяват равенството [tex]2x^2-4xy+6y^2=9 [/tex]
Да се намерят възможно най- малката и най- голямата стойност на израза [tex]2x-y [/tex]

[Реклама]

[blqaa]

Веднъж пресмятаме относно y дискриминанта и от нея определяме най-малката стойност на x, после относно x определяме най-малката стойност на y.А за НГС,предполагам ще се получи някакъв точен квадрат в дискриминантата и няма да е много трудно да се определи.Като имам време ще напиша пълно решение, защото сега нямам!Може и да бъркам де.
Очаквам минуси за този пост

[ганка симеонова]

не е вярно

[Spider Iovkov]

[tex]2x-y=t \Leftrightarrow y=2x-t \Rightarrow 2x^2-4xy+6y^2=9 \Leftrightarrow 2x^2-4x(2x-t)+6(2x-t)^2=9 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2x^2-8x^2+4tx+6(4x^2-4xt+t^2)-9=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2x^2-8x^2+4tx+24x^2-24tx+6t^2-9=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \fbox {18x^2-20tx+6t^2-9=0}[/tex]
Сега решаваме неравенството [tex]D\ge 0 \Leftrightarrow (-20t)^2-4.18(6t^2-9)\ge 0 \Leftrightarrow 400t^2-432t^2+648\ge 0 \Leftrightarrow 648-32t^2\ge 0 \Leftrightarrow 4t^2-81 \le 0 \Leftrightarrow (2t+9)(2t-9)\le 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t\in [-\frac{9}{2};\frac{9}{2}][/tex]
И понеже [tex]2x-y=t[/tex], то [tex]-\frac{9}{2}\le 2x-y \le \frac{9}{2}[/tex], или най-малката стойност е [tex]-\frac{9}{2}[/tex], а най-голямата е [tex]\frac{9}{2}[/tex], защото интервалът е краен и затворен.

[ганка симеонова]

Точно така, Емо

[Is it black or white?]

Тази задача, днес като решавах темата за Софийски университет от професор Чакърян, дадена в последния брой на списание математика, още щом я видях и се сетих за начина на Емо и я реших