Развитие в ред на Маклорен

[u3BbH3eMHoTo]

Трябва да развия ln(1+x) в ред на Маклорен, четох го и пак не успях да разбера как става.
Все намирам вече развит. Без никакво доказателство как се стига до това развиване ако някой може да помогне ще съм много благодарен.

[Реклама]

[Infernum]

Виж сега каква е цаката тука.
Нека

f(x)=ln(1+x)

При |х|<1 имаш:

[tex]f'(x) =\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{k=0}^{\infty}(-x)^k.[/tex]

Cега

[tex]f(x)=\int_{}f'(x)dx=\int_{}\sum_{k=0}^{\infty}(-x)^kdx=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{}(-x)^kdx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1} x^k}{k}.[/tex]

Интегрирaнето е основателно, тъй като f'(x) е равномерно сходящ геометричен ред в интервала (-1, 1), a интеграционната константа се полага да бъде 0, защото f(0)=ln (1+0)=0
Така получаваш:

[tex]\ln (1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1} x^k}{k}[/tex]

Непосредствена проверка показва, че получения ред е разходящ в точката х=-1 и сходящ в точката х=1, съгласно критерия на Лайбниц.
Така интервалът на сходимост е (-1, 1].
Иначе друг начин да получиш развитие на тази функция е, да намериш n-тата производна на f(x) и да заместиш коефициентите f⁽ⁿ⁾(0)/n! в реда: ∑_k=0..∞f^(к)(0)/к!х^к
.

[u3BbH3eMHoTo]

Благодаря ти много